Задача 65389 Прямая y=2x+6 является касательной к...

62f4d15966651c2751b87746

11.08.2022 13:52:17

Прямая y=2x+6 является касательной к графику функции y=x^3+x^2+2x+6. Найдите абсциссу точки касания.

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.08.2022 19:51:51

★

Функция: y = x^3 + x^2 + 2x + 6
Касательная: f(x) = 2x + 6
Найти абсциссу точки касания.
Решение.
Уравнение касательной в точке x0 в общем виде:
f(x) = y(x0) + y'(x0)*(x - x0)
y(x0) = x0^3 + x0^2 + 2x0 + 6
y'(x) = 3x^2 + 2x + 2
y'(x0) = 3x0^2 + 2x0 + 2
Подставляем в уравнение касательной:
f(x) = x0^3 + x0^2 + 2x0 + 6 + (3x0^2 + 2x0 + 2)*(x - x0)
f(x) = (3x0^2 + 2x0 + 2)*x + (x0^3 + x0^2 + 2x0 + 6 - 3x0^3 - 2x0^2 - 2x0)
f(x) = (3x0^2 + 2x0 + 2)*x + (-2x0^3 - x0^2 + 6)
По условию f(x) = 2x + 6. Приравниваем коэффициенты:
{ 3x0^2 + 2x0 + 2 = 2 (коэффициент при x)
{ -2x0^3 - x0^2 + 6 = 6 (свободный член)
Нетрудно догадаться, что x0 = 0

Ответ: 0

62ed0e7ed470f814fec9e687

13.08.2022 22:53:41

y'(x0)= к =>
y'(x) = 3x2 + 2x + 2, тк к=2, то
3x2 + 2x + 2=2
3x2 + 2x =0,
х1=0, х2=-2/3.
Тк графики касаются, то полученные корни должны удовлетворять уравнению
x3 + x2 + 2x + 6= 2x + 6,
x3 + x2 =0(*)
Про­вер­ка под­ста­нов­кой по­ка­зы­ва­ет, что пер­вый ко­рень удо­вле­тво­ря­ет, а вто­рой не удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию (*). По­это­му ис­ко­мая абс­цис­са точки ка­са­ния 0.