Задача 65373 Представьте в виде произведения...
Условие
Объясните, как вы догадываетесь до тех или иных действий.
Заранее, спасибо.
Решение
и формула разности квадратов
a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
x^4+x^2+1=x^4[b]+2x^2[/b]+1[b]-x^2[/b]=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)*(x^2+1+x)
Все решения
Например, мы предполагаем, что наше выражение 4 степени можно разложить на два квадратных.
В общем виде это выглядит так:
x^4 + x^2 + 1 = (A1*x^2 + B1*x + C1)(A2*x^2 + B2*x + C2)
Но в данном случае мы видим, что старший коэффициент и свободный член - оба равны 1 = 1*1, поэтому можно написать проще:
x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + B1*x + 1)(x^2 + B2*x + 1)
Заметьте - то, что коэффициент при x^2 тоже равен 1, не имеет никакого значения.
Если бы он был 2, 10 или хоть 158, множители были бы такие же.
Раскрываем скобки:
(x^2 + B1*x + 1)(x^2 + B2*x + 1) =
= x^4 + B1*x^3 + x^2 + B2*x^3 + B1*B2*x^2 + B2*x + x^2 + B1*x + 1 =
Дальше собираем коэффициенты при одинаковых степенях:
= x^4 + (B1+B2)x^3 + (2+B1*B2)x^2 + (B1+B2)x + 1
Запишем исходное выражение со всеми коэффициентами:
x^4 + x^2 + 1 = 1x^4 + 0x^3 + 1x^2 + 0x + 1
Теперь составляем систему по неизвестным коэффициентам:
{ B1 + B2 = 0 (при x^3)
{ 2 + B1*B2 = 1 (при x^2)
{ B1 + B2 = 0 (при x)
Как видим, два уравнения одинаковы, остаётся 2 уравнения с 2 неизвестными.
Решаем подстановкой:
{ B2 = -B1
{ 2 - B1*B1 = 1
Получается:
2 - 1 = B1^2
B1^2 = 1
Оно имеет два решения:
B1 = -1, B2 = 1
B1 = 1, B2 = -1
В обоих случаях разложение будет одинаковым:
x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1x + 1)(x^2 - 1x + 1) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
Всё!