Задача 65368 При подготовке к экзамену студент за t...
Условие
k=t/t+1 a=3t/192
Решение
Здесь k = t/(t+1); a = 3t/192
Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?
Решение.
Заметим, что t - это время, значит, по определению t > 0.
Поэтому все дроби в решении имеют смысл при любом t > 0.
Если k = t/(t+1), то:
[m]t+k = t + \frac{t}{t+1} = \frac{t(t+1) +t}{t+1} = \frac{t^2 + 2t}{t+1}[/m]
Студент за t дней изучает часть курса:
[m]f(t) = \frac{t}{t+k} = \frac{t(t+1)}{t^2+2t} = \frac{t^2+t}{t^2+2t} = \frac{t+1}{t+2}[/m]
И забывает часть курса:
[m]g(t) = a*t = \frac{3t}{192}*t = \frac{3t^2}{192}[/m]
В итоге он за t дней выучивает:
[m]F(t) = f(t) - g(t) = \frac{t+1}{t+2} - \frac{3t^2}{192} = \frac{192(t+1) - 3t^2(t+2)}{192(t+2)} = \frac{-3t^3 - 6t^2 + 192t + 192}{192(t+2)}[/m]
Исследуем эту функцию на экстремум.
Для этого найдем производную.
[m]F'(t) = \frac{(-9t^2-12t+192)*192(t+2) - (-3t^3-6t^2+192t+192)*192}{192^2(t+2)^2} = [/m]
Сокращаем всю дробь на 192:
[m] = \frac{(-9t^2-12t+192)(t+2) - (-3t^3-6t^2+192t+192)}{192(t+2)^2} =\frac{-9t^3-12t^2+192t-18t^2-24t+384 +3t^3+6t^2-192t-192}{192(t+2)^2} =\frac{-6t^3-24t^2-24t+192}{192(t+2)^2}[/m]
Получили:
[m]F'(t) = \frac{-6t^3-24t^2-24t+192}{192(t+2)^2}[/m]
В точках экстремума производная функции должна быть равна 0.
Знаменатель этой дроби больше 0 при любом t > 0.
Приравниваем числитель к 0, получаем уравнение:
-6t^3 - 24t^2 - 24t + 192 = 0
Сокращаем на -6:
t^3 + 4t^2 + 4t - 32 = 0
Преобразуем так:
t^3 - 2t^2 + 6t^2 - 12t + 16t - 32 = 0
(t - 2)(t^2 + 6t + 16) = 0
t = 2 - это решение.
t^2 + 6t + 16 = 0 - действительных корней не имеет.
Проверим, что t= 2 - точка максимума.
При t < 2, например, при t = 1 будет:
[m]F'(t) = \frac{-6-24-24+192}{192(3)^2} = \frac{138}{192*9} > 0[/m]
Значит, на промежутке t ∈ (0; 2) функция возрастает.
При t > 2, например, при t = 3, будет:
[m]F'(t) = \frac{-6*27-24*9-24*3+192}{192(5)^2} = \frac{-162-216-72+192}{192*25} = -\frac{258}{192*25} < 0[/m]
Значит, при t > 2 функция убывает.
Таким образом, мы доказали, что t = 2 - точка максимума.
Ответ: через 2 дня.