Задача 65365 В основании прямой треугольной призмы...
Условие
Решение
ВВ_(1)=СС_(1)=8
BP:PB_(1)=1:4
ВР=(1/5)ВВ_(1)=[b]8/5[/b]
BC^2_(1)=BC^2+CC^2_(1)=2^2+8^2=4+64=68
BC_(1)=sqrt(68)=2sqrt(17)
Задача на нахождение угла между скрещивающимися прямыми MP и BC1
ВС_(1) лежит в плоскости ВВ_(1)С_(1)С, а прямая МР пересекает эту плоскость в точке Р, не принадлежащей прямой ВС_(1)
Проводим в плоскости ВВ_(1)С_(1)С через точку Р прямую, параллельную ВС_(1)
Получаем точку К на ребре СС_(1)
Тогда угол КРМ - угол между PM и PK ( PK|| BC_(1)), значит это угол между РМ и ВС_(1)
Найдем его из треугольника КРМ.
Для этого найдем все стороны
С_(1)K=ВР=8/5
PK=BC_(1)=2sqrt(17)
Так как М- середина АС
СМ=МА=2
Δ МВС - прямоугольный ( угол С -прямой по условию)
МВ^2=CB^2+CM^2=2^2+2^2=8
MB=sqrt(8)=[b]2sqrt(2)[/b]
Из прямоугольного треугольника ВРМ
PM^2=BP^2+BM^2=(8/5)^2+(2sqrt(2))^2=(64/25)+8=264/25
PM=2sqrt(66)/5
Из прямоугольного треугольника СКМ
КМ^2=KC^2+CM^2=(8+(8/5))^2+2^2=9,6^2+4=92,16+4=96,16
По теореме косинусов из треугольника РКМ:
KM^2=PK^2+PM^2-2*PK*KM*cos ∠ KPM
⇒
cos ∠ KPM=(PK^2+PM^2-KM^2)/2*PK*KM
cos ∠ KPM=-11/(sqrt(17)*sqrt(66))
смежный с ним угол острый, его косинус равен 11/(sqrt(17)*sqrt(66))
Угол между прямыми- наименьший из углов,образованных при пересечении двух прямых
Поэтому ответ.
[b]arccos (11/(sqrt(17)*sqrt(66)))
[/b]
[b]Второй способ.[/b]
[red]Координатный.[/red]
Ввести систему координат:
Точка С совпадает с началом координат, ось Ох по лучу СА; ось Оу по лучу СВ; ось Оz по лучу СС_(1)
Найти координаты векторов
vector{MP}=(-2;2;8/5) и vector{ВС_(1)}=(0;-2;8)
vector{MP}*vector{ВС_(1)}=||*|vector{ВС_(1)}|cos ∠ (vector{MP},vector{ВС_(1)})
cos ∠ (vector{MP},vector{ВС_(1)})=(0*(-2)+(-2*2+8*(8/5))/sqrt(68)*sqrt(264/25)=[b]11/sqrt(17)*sqrt(66)[/b]
Ответ.
[b]arccos (11/(sqrt(17)*sqrt(66)))
[/b]
