Задача 65359 Найдите площадь треугольника, если...
Условие
Решение
Если это равносторонний треугольник, то все углы у него равны 60°. Там нет угла 30°.
А если угол при вершине действительно 30°, то это равнобедренный треугольник.
Смотрите рисунок.
Если угол при вершине C = 30°, то углы при основании A = B = (180° - 30°)/2 = 75°.
Высота равнобедренного треугольника - она же медиана и биссектриса.
Она делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника с углами 90°, 75°, 15°.
Высота треугольника CD = h = 2 см - это большой катет треугольника ACD.
Малый катет треугольника ACD равен половине основания треугольника ABC: AD = AB/2 = a/2.
А гипотенуза ACD равна боковой стороне треугольника ABC: AC = b.
[m]sin(15°) = sin(\frac{30°}{2}) = \sqrt{\frac{1 - cos(30°)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3}/2}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}[/m]
[m]cos(15°) = cos(\frac{30°}{2}) = \sqrt{\frac{1 + cos(30°)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{3}/2}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}[/m]
[m]tg(15°) = \frac{sin(15°)}{cos(15°)} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} : \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}} = [/m]
[m]= \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}[/m]
Малый катет треугольника ACD:
AD = a/2 = AB/2 = CD*tg(ACD) = 2*tg(15°) = 2*(2 - sqrt(3)) = 4 - 2sqrt(3) см
AB = a = 2*AD = 2(4 - 2sqrt(3)) = 8 - 4sqrt(3) см
S(ABC) = a*h/2 = 2*(8 - 4sqrt(3))/2 = 8 - 4sqrt(3) см^2
Ответ: S(ABC) = 8 - 4sqrt(3) см^2