Задача 65358 Исключив параметр t из данных...

605e2bb01ba1332da0acd80e

26.07.2022 12:39:38

Исключив параметр t из данных параметрических уравнений линий на плоскости, записать их уравнения в декартовых координатах, определить вид каждой линии и её расположение на плоскости:x=a(t–sint), y=a(1–cost); x=acos^3t, y=asin^3t.

626fab9a354ab65fb2f43abb

26.07.2022 18:36:05

★

1) x = a(t – sin t); y = a(1 – cos t)
{ 1 - cos t = y/a
{ x = a(t - sin t)
Здесь удобнее выразить x через y, а не y через x, как обычно.
Преобразуем 1 уравнение:
cos t = 1 - y/a = (a-y)/a
Отсюда получаем два уравнения:
[m]t = arccos (1 - \frac{y}{a})[/m] ________________________________ (1)
[m]cos^2(t) = (\frac{a-y}{a})^2 = \frac{(a-y)^2}{a^2}[/m]
[m]sin^2(t) = 1 - cos^2(t) = 1 - \frac{(a-y)^2}{a^2} = \frac{a^2 - (a^2 - 2ay + y^2)}{a^2} = \frac{2ay - y^2}{a^2}[/m]
[m]sin(t) = \sqrt{\frac{2ay - y^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{2ay - y^2}}{a}[/m] ________________ (2)
Не обращайте внимания на знаки подчеркивания, они для выравнивания.
Подставляем (1) и (2) во второе уравнение системы:
[m]x(y) = a(arccos (1 - \frac{y}{a}) - \frac{\sqrt{2ay - y^2}}{a})[/m]
Раскрываем скобки, получаем:
[b]x(y) = a*arccos(1 - y/a) - sqrt(2ay - y^2)[/b]
Эта кривая называется Циклоида.
На рисунке 1 изображена циклоида для а = 1.

2) x=a*cos^3 t; y=a*sin^3 t.
{ cos^3 t = x/a
{ sin^3 t = y/a
Извлечем кубические корни:
{ cos t = (x/a)^(1/3)
{ sin t = (y/a)^(1/3)
Возводим в квадрат:
{ cos^2 t = (x/a)^(2/3)
{ sin^2 t = (y/a)^(2/3)
Основное тригонометрическое равенство:
sin^2 t + cos^2 t = 1
Уравнение:
[b](x/a)^(2/3) + (y/a)^(2/3) = 1[/b]
Эта кривая называется Астроида.
На рисунке 2 изображена астроида для а = 1.