Задача 65357 Вычислить интеграл: sqrt(e^(4x) - 1)dx...
Условие
математика ВУЗ
185
Решение
★
Все решения
[m]e^{4x}-1=t[/m] ⇒
[m]e^{4x}=t+1[/m] ⇒
[m]4x=ln(t+1)[/m] ⇒
[m]x=\frac{1}{4}ln(t+1)[/m] ⇒
[m]dx=\frac{1}{4(t+1)}dt[/m]
Тогда
[m] ∫ \sqrt{e^{4x}-1}dx= ∫ \sqrt{t}\cdot \frac{1}{4(t+1)}dt=\frac{1}{4} ∫\frac{\sqrt{t}}{t+1}dt= [/m]
Замена переменной:
[m]\sqrt{t}=u[/m] ⇒ [m]t=u^2[/m] ⇒ [m]dt=2udu[/m]
Тогда
[m]=\frac{1}{4} ∫\frac{u}{u^2+1}2udu=\frac{1}{2} ∫\frac{u^2}{u^2+1}du=\frac{1}{2} ∫\frac{u^2+1-1}{u^2+1}du =\frac{1}{2} ∫(\frac{u^2+1}{u^2+1}-\frac{1}{u^2+1})du=\frac{1}{2}(u-arctgu)+C= [/m]
Обратный переход:
[m]=\frac{1}{2}(\sqrt{t}-arctg\sqrt{t})+C= [/m]
[m]=\frac{1}{2}(\sqrt{e^{4x}-1}-arctg\sqrt{e^{4x}-1})+C [/m]