Задача 65356 Нужно решить две задачи из высшей...

62dd2ea1e9678847c8b30666

25.07.2022 17:27:27

Нужно решить две задачи из высшей математики.
1) Найти область определения функции двух переменных z=f(x,y) и построить эту область.
2) Для заданной функции z=f(x,y) показать,что: F=(x,y,z, dz/dx , dz/dy, d2z/dx2,d2z/dy2,d2z/dxdy)=0

626fab9a354ab65fb2f43abb

25.07.2022 21:21:40

★

1) [m]z = arccos \frac{y}{x}[/m]
Область определения:
{ x ≠ 0
{ y/x ∈ [-1; 1]
Получаем:
{ x ∈ (-oo; 0) U (0; +oo)
{ y ∈ [-x; x]
Нарисовать не могу, у меня таких программ нет.

2) z = cos(x^2 + y^2)
4x^2*z = 4x^2*cos(x^2 + y^2)
[m]\frac{dz}{dx} = -sin(x^2 + y^2)*2x = -2x sin(x^2 + y^2)[/m]
[m]\frac{dz}{dy} = -sin(x^2 + y^2)*2y = -2y sin(x^2 + y^2)[/m]
[m]\frac{1}{y}\frac{dz}{dy} = -2sin(x^2 + y^2)[/m]
[m]\frac{d^2z}{dx^2} = -2sin(x^2 + y^2) - 2x cos(x^2 + y^2)*2x [/m]
[m]\frac{d^2z}{dx^2} = -2sin(x^2 + y^2) - 4x^2 cos(x^2 + y^2)[/m]
Подставляем в заданное выражение:
[m]\frac{d^2z}{dx^2} - \frac{1}{y}\frac{dz}{dy} + 4x^2*z =[/m]
[m]= -2sin(x^2 + y^2) - 4x^2 cos(x^2 + y^2) - (-2sin(x^2 + y^2)) + 4x^2 cos(x^2 + y^2) = 0[/m]
Что и требовалось доказать.