Задача 65349 a*(COS2X-3)+2A+11SIN2X<44...
Условие
Решение
a*(cos^2 x - sin^2 x) - 3a + 2a + 11*2sin x*cos x - 44 < 0
-a*sin^2 x + 22sin x*cos x + a*cos^2 x - 44 - a < 0
Умножаем всё на -1, при этом знак неравенства меняется:
a*sin^2 x - 22sin x*cos x - a*cos^2 x + (44+a)*(sin^2 x + cos^2 x) > 0
a*sin^2 x - 22sin x*cos x - a*cos^2 x + 44sin^2 x + 44cos^2 x +a*sin^2 x + a*cos^2 x > 0
(44 + 2a)*sin^2 x - 22sin x*cos x + 44cos^2 x > 0
Делим всё на cos^2 x:
(44 + 2a)*tg^2 x - 22tg x + 44 > 0
Делим всё на 2:
(22 + a)*tg^2 x - 11tg x + 22 > 0
1) Если 22 + a = 0, то есть при a = -22, получаем линейное неравенство:
-11tg x + 22 > 0
tg x < 2
[b]a1 = -22; x1 ∈ (-π/2 + π*n; arctg(2) + π*n)[/b]
2) Если a ≠ -22, то получаем квадратное неравенство относительно tg x:
(22 + a)*tg^2 x - 11tg x + 22 > 0
D = (-11)^2 - 4*22(22 + a) = 121 - 1936 - 88a = -88a - 1815
2а) Если a > -22 и D < 0, то неравенство верно при любом tg x.
Тогда x тоже любое, кроме π/2 + π*n.
{ a > -22
{ -88a - 1815 < 0
Решаем:
{ a > -22
{ a > -1815/88 = -20,625
Получаем: a > -1815/88
[b]a2 ∈ (-1815/88; +oo); x ∈ (-π/2 + π*n; π/2 + π*n)[/b]
2б) Если a < -22 и D < 0, то решений нет:
{ a < -22
{ -88a - 1815 < 0
Решаем:
{ a < -22
{ a > -1815/88 = -20,625
Система несовместна, таких решений нет.
2в) Если a < -22 и D ≥ 0, то
{ a < -22
{ -88a - 1815 ≥ 0
Решаем:
{ a < -22
{ a ≤ -1815/88 = -20,625
Получаем: a < -22
Решаем неравенство:
(22 + a)*tg^2 x - 11tg x + 22 > 0
[m]tg(x1) = \frac{11 - \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a}; x1 = arctg(\frac{11 - \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a})[/m]
[m]tg(x2) = \frac{11 + \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a}; x2 = arctg(\frac{11 + \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a})[/m]
[b]a3 ∈ (-oo; -22); x ∈ (x1 + π*n; x2 + π*n)[/b]
2г) Если a > -22 и D ≥ 0, то:
{ a > -22
{ -88a - 1815 ≥ 0
Решаем:
{ a > -22
{ a ≤ -1815/88 = -20,625
Получаем: a ∈ (-22; -1815/88]
Решаем неравенство:
(22 + a)*tg^2 x - 11tg x + 22 > 0
[m]tg(x1) = \frac{11 - \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a}; x1 = arctg(\frac{11 - \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a})[/m]
[m]tg(x2) = \frac{11 + \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a}; x2 = arctg(\frac{11 + \sqrt{-88a - 1815} }{44 + 2a})[/m]
[b]a4 ∈ (-22; -1815/88]; x ∈ (-π/2 + π*n; x1 + π*n) U (x2 + π*n; π/2 + π*n)[/b]