Задача 65336 У квадратного земельного участка...
Условие
Решение
1 Задача
E(1; 6) - центр квадрата; A(5; 9); B(4; 2) - на одной стороне.
Найти две другие вершины C и D, а также площадь квадрата S.
Решение.
1) Чтобы найти две другие вершины C и D, нужно отложить от данных вершин A и B отрезки через центр E на такое же расстояние.
У этих вершин будет такое же смещение от центра E, как у самого центра E от вершин A и B.
По оси Ox смещение для точки A будет:
ΔxA = xE - xA = 1 - 5 = -4
Для точки B будет:
ΔxB = xE - xB = 1 - 4 = -3
По оси Oy смещение для точки A будет:
ΔyA = yE - yA = 6 - 9 = -3
Для точки B будет:
ΔyB = yE - yB = 6 - 2 = 4
Координаты точки C по диагонали от A:
xC = xE + ΔxA = 1 - 4 = -3
yC = yE + ΔyA = 6 - 3 = 3
[b]C(-3; 3)[/b]
Координаты точки D по диагонали от B:
xD = xE + ΔxB = 1 - 3 = -2
yD = yE + ΔyB = 6 + 4 = 10
[b]D(-2; 10)[/b]
Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести в квадрат:
a = |AB| = sqrt((xA - xB)^2 + (yA - yB)^2) =
= sqrt((5 - 4)^2 + (9 - 2)^2) = sqrt(1^2 + 7^2) = sqrt(50)
[b]S = a^2 = (sqrt(50))^2 = 50[/b]
2 Задача.
Прочность бруса пропорциональна его ширине a и квадрату высоты h.
Найти такие значения a и h, при которых прочность бруса, вырезанного из бревна диаметром
D = 3 дм, будет максимальной.
Решение.
Так как прочность бруса P пропорциональна его ширине a и квадрату высоты h, то:
P = k*a*h^2
У нас есть брус диаметром D = 3 дм = 30 см.
Смотрите рисунок.
Ширина бруса а, его высота h и диаметр бревна D образуют прямоугольный треугольник,
в котором диаметр D - это гипотенуза. По теореме Пифагора:
D^2 = a^2 + h^2
h^2 = D^2 - a^2 = 30^2 - a^2 = 900 - a^2
P = k*a(900 - a^2) = k(900a - a^3)
Прочность будет максимальна, когда ее производная будет равна 0.
P' = k(900 - 3a^2) = 3k(300 - a^2) = 0
300 - a^2 = 0
a^2 = 300
[b]a = sqrt(300) = 10sqrt(3) см = sqrt(3) дм[/b]
h^2 = 900 - a^2 = 900 - 300 = 600
[b]h = sqrt(600) = 10sqrt(6) см = sqrt(6) дм[/b]