Задача 65326 ...
Условие
Решение
Область определения:
{ 6 - x > 0
{ 6 - x ≠ 1
{ 16 - x^2 > 0
Решаем:
{ x < 6
{ x ≠ 5
{ (4 - x)(4 + x) > 0
Получаем:
x ∈ (-4; 4)
Решаем неравенство:
[m] \log_{6-x} (16 - x^2) ≤ \log_{6-x} (6 - x) [/m]
Так как x ∈ (-4; 4), то
6 - x ∈ (2; 10)
В любом случае 6 - x > 1, значит, логарифм возрастающий, и при переходе от логарифма к числам под логарифмом знак неравенства не меняется.
16 - x^2 ≤ 6 - x
x^2 - x - 10 ≥ 0
D = 1^2 - 4*1(-10) = 1 + 40 = 41
x1 = (1 - sqrt(41))/2 ≈ -2,7 ∈ (-4; 4) - подходит
x2 = (1 + sqrt(41))/2 ≈ 3,7 ∈ (-4; 4) - подходит
Ответ: x ∈ (-4; (1-sqrt(41))/2] U [(1+sqrt(41))/2; 4)
Все решения
[m]\left\{\begin {matrix} 6 – x > 0\\ 6 – x ≠ 1\\16 – x^2 > 0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix} x<6\\ x ≠ 5\\(4-x)(4+x) > 0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix} x<6\\ x ≠ 5\\-4 < x< 4\end {matrix}\right.[/m]
[red]ОДЗ: x ∈ (-4;4)[/red]
Так как 1= log_(a)a, то можно записать неравенство в виде:
[m]log_{6−x}(16−x^2)≤log_{6−x}(6−x)[/m]
Так как основание логарифмической функции (6-x) содержит переменную, то рассматривают 2 случая
1) основание 6-x >1, при этом логарифмическая функция возрастает , значит [i]большему [/i]значению функции соответствует [i]большее [/i]значение аргумента:
[m]\left\{\begin {matrix} 6-x > 1\\ 16-x^2≤6-x\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix} x <5\\ x^2-x-10 ≥0\end {matrix}\right.[/m]
D=(-1)^2-4*(-10)=41
корни:
[m]x_{1}=\frac{1-\sqrt{41}}{2}[/m] или [m]x_{2}=\frac{1+\sqrt{41}}{2}[/m]
Проверяем входят ли найденные значения в ОДЗ.
Сравниваем
[m] \frac{1-\sqrt{41}}{2}>-4[/m], умножаем на 2:
[m]1-\sqrt{41}>-8[/m]
переносим слагаемые:
[m]1+8 >\sqrt{41}[/m]
возводим в квадрат
[m]81 >41[/m]- верно,значит [m] \frac{1-\sqrt{41}}{2}>-4[/m]- верно
Сравниваем
[m] \frac{1+\sqrt{41}}{2}<4[/m], умножаем на 2:
[m]1+\sqrt{41}<8[/m]
переносим слагаемые:
[m]\sqrt{41}<8-1[/m]
m]\sqrt{41}<7[/m]
возводим в квадрат
[m] 41<49[/m]- верно,значит [m] \frac{1+\sqrt{41}}{2}<4[/m]- верно
[m]\left\{\begin {matrix} x <5\\ x ≤ \frac{1-\sqrt{41}}{2}... или ... x ≥ \frac{1+\sqrt{41}}{2}\end {matrix}\right.[/m]
_____[red](-4)[/red]\\\\\\\\\ [ [m]\frac{1-\sqrt{41}}{2}[/m]] __________ [ [m]\frac{1+\sqrt{41}}{2}[/m]]\\\\\[red] (4)[/red]_______ (5)
Решение системы:
[m] (-4;\frac{1-\sqrt{41}}{2}] \cup [\frac{1+\sqrt{41}}{2};4)[/m]
2) основание 0 < 6-x < 1, при этом логарифмическая функция убывает, значит [i]большему[/i] значению функции соответствует [i]меньшее[/i] значение аргумента:
[m]\left\{\begin {matrix} 0 < 6-x < 1\\ 16-x^2 ≥ 6-x\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix} -1 < x-6 <0\\ x^2 -x-10 ≤0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix} 5 < x <6\\ x^2 -x-10 ≤0 \end {matrix}\right.[/m] первое неравенство не удовлетворяет ОДЗ ⇒
система не имеет решений
О т в е т.[m] (-4;\frac{1-\sqrt{41}}{2}] \cup [\frac{1+\sqrt{41}}{2};4)[/m]