Задача 65317 ...
Условие
Решение
cos(2t)-sin(5t)=4cos^2(t)
Так как cos^2(t)=(1+cos2t)/2
то получим уравнение:
cos(2t)-sin(5t)=4*(1+cos2t)/2
cos(2t)-sin(5t)=2+2cos(2t)
cos(2t)+sin(5t)=-2
-1≤ cos2t ≤ 1
и
-1≤ sin2t ≤ 1
⇔
[m]\left\{\begin {matrix}cos2t=-1\\sin5t=-1\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}2t=-π+2πn, n ∈ Z\\5t=-\frac{π}{2}+2πk, k ∈ Z\end {matrix}\right.[/m] ⇒
Обратная замена:
[m]\left\{\begin {matrix}2πx=-π+2πn, n ∈ Z\\5πx=-\frac{π}{2}+2πk, k ∈ Z\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}2x=-1+2n, n ∈ Z\\5x=-\frac{1}{2}+2k, k ∈ Z\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}x=-\frac{1}{2}+n, n ∈ Z\\x=-\frac{5}{2}+\frac{2}{5}k, k ∈ Z\end {matrix}\right.[/m] ⇒
Так как решение первого и решение второго в системе, значит надо найти пересечение этих решений.
Но поскольку вопрос в том, чтобы найти[b] наименьшее [/b]решение, то просто запишем эти решения:
[m]\left\{\begin {matrix}x=...; -\frac{5}{2};-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2};...\\x=...-\frac{5}{2}; -\frac{21}{10};-\frac{17}{20}; ...- \frac{1}{2}; ...;\frac{3}{2}\end {matrix}\right.[/m] ⇒
Решений бесчисленное множество.
Думаю, что вопрос : найти [b]наименьшее положительное[/b]
или
[b]наибольшее отрицательное[/b]
Например,
[m]-\frac{1}{2}[/m] - наибольшее отрицательное
[m]\frac{3}{2}[/m] - наименьшее положительное