Задача 65314 ...
Условие
Решение
Это же обычный матанализ.
1) [m]y = \frac{ln(x)}{\sqrt{x}}[/m]
Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
ОДЗ: x > 0
Точки перегиба - это точки, в которых ВТОРАЯ производная равна 0.
[m]y' = \frac{1/x*\sqrt{x} - ln(x)*1/(2\sqrt{x})}{x} = \frac{1/\sqrt{x}*2\sqrt{x} - ln(x)}{x*2\sqrt{x}} = \frac{2 - ln(x)}{x*2\sqrt{x}}[/m]
[m]y'' = \frac{-1/x*x*2\sqrt{x} - (2 - ln(x))*2*3/2*\sqrt{x}}{4x^2*x} = \frac{-2\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + 3ln(x)*\sqrt{x}}{4x^3} = \frac{- 8 + 3ln(x)}{4x^2*\sqrt{x}} = 0[/m]
-8 + 3ln(x) = 0
ln(x) = 8/3
Ответ: [b]x = e^(8/3) - это точка перегиба.[/b]
При x ∈ (0; e^(8/3)) будет y'' < 0, график выпуклый вверх.
При x > e^(8/3) будет y'' > 0, график выпуклый вниз.
2) Дано распределение дискретной случайной величины:
X | _4_ | _6_ | _8_ | 9
p | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,5
Найти мат. ожидание и дисперсию.
Мат. ожидание:
M[X] = Σ (X_i*p_i) = 4*0,3 + 6*0,1 + 8*0,1 + 9*0,5 =
= 1,2 + 0,6 + 0,8 + 4,5 = 7,1
Дисперсия:
D[X] = M[(X - M[X])^2] = (4 - 7,1)^2*0,3 + (6 - 7,1)^2*0,1 +
+ (8 - 7,1)^2*0,1 + (9 - 7,1)^2*0,5 = 3,1^2*0,3 + 1,1^2*0,1 +
+ 0,9^2*0,1 + 1,9^2*0,5 = 9,61*0,3 + 1,21*0,1 + 0,81*0,1 +
+ 3,61*0,5 = 2,883 + 0,121 + 0,081 + 1,805 = 4,890
Ответ: [b]M[X] = 7,1; D[X] = 4,89[/b]
3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M(2; 3; 4) и перпендикулярной к прямой:
{ 3x - 2y + z - 4 = 0
{ x + 3y + 2z - 11 = 0
Прямая задана как линия пересечения плоскостей.
Нормальные векторы этих плоскостей:
n_1(3; -2; 1); n_2(1; 3; 2)
Сначала составим каноническое уравнение прямой.
Для этого найдем направляющий вектор прямой:
[m]\overset{\to}{a} = \begin{vmatrix}
i & j & k\\
3 & -2 & 1\\
1 & 3 & 2
\end{vmatrix}[/m]
Его можно раскрыть по правилу треугольника:
a = i(-2)*2 + j*1*1 + k*3*3 - i*1*3 - j*3*2 - k(-2)*1 =
= -4i + j + 9k - 3i - 6j + 2k = -7i - 5j + 11k
Направляющий вектор прямой:
a(-7; -5; 11)
Теперь надо найти любое решение системы:
{ 3x - 2y + z - 4 = 0
{ x + 3y + 2z - 11 = 0
Переносим числа и z направо:
{ 3x - 2y = 4 - z
{ x + 3y = 11 - 2z
Умножаем 2 уравнение на -3:
{ 3x - 2y = 4 - z
{ -3x - 9y = -33 + 6z
Складываем уравнения:
-11y = -29 + 5z
y = (-29 + 5z)/(-11) = 29/11 - 5z/11
Подставляем в любое уравнение:
x + 3(29/11 - 5z/11) = 11 - 2z
x + 87/11 - 15z/11 = 121/11 - 22z/11
x = (121 - 87)/11 + (15z - 22z)/11
x = 34/11 - 7z/11
Итак, получили общее решение:
{ z ∈ (-oo; +oo)
{ y = (29 - 5z)/11
{ x = (34 - 7z)/11
Если взять z = -3, то получится:
y = (29 + 5*3)/11 = (29 + 15)/11 = 44/11 = 4
x = (34 + 7*3)/11 = (34 + 21)/11 = 55/11 = 5
Частное решение, точка на прямой: A(5; 4; -3)
Направляющий вектор прямой: a(-7; -5; 11)
Каноническое уравнение прямой:
(x - 5)/(-7) = (y - 4)/(-5) = (z + 3)/11
Вернемся к нашей задаче: составить уравнение плоскости, перпендикулярной к этой прямой, и проходящей через точку M(2; 3; 4).
Если прямая перпендикулярна к плоскости, то направляющий вектор прямой - есть нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости:
-7(x - 2) - 5(y - 3) + 11(z - 4) = 0
-7x + 14 - 5y + 15 + 11z - 44 = 0
Ответ: [b]-7x - 5y + 11z - 15 = 0[/b]
4) Исследовать ряд на сходимость:
[m]\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{4n}{3n+1})^{2n}[/m]
Удобнее всего такой ряд исследовать по признаку Коши.
Найдем предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{4n}{3n+1})^{2} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{16n^2}{9n^2+6n+1} = \frac{16}{9} > 1[/m]
Ответ: [b]Ряд расходится.[/b]
5) Укажите вид частного решения уравнения:
y'' - 4y' + 4y = e^(-2x)
Это линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Находим решение однородного уравнения:
y'' - 4y' + 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4k + 4 = 0
(k - 2)^2 = 0
k1 = k2 = 2
y_(одн) = (C1x + C2)*e^(2x)
Теперь ищем частное решение неоднородного уравнения.
Так как в правой части e^(-2x), и k1 ≠ -2, и k2 ≠ -2, то:
y_(неодн) = A*e^(-2x)
y_(неодн)' = -2A*e^(-2x)
y_(неодн)'' = 4A*e^(-2x)
Подставляем в неоднородное уравнение:
y'' - 4y' + 4y = e^(-2x)
4A*e^(-2x) - 4*(-2A*e^(-2x)) + 4A*e^(-2x) = e^(-2x)
16A*e^(-2x) = e^(-2x)
16A = 1
A = 1/16
y_(неодн) = A*e^(-2x) = 1/16*e^(-2x)
Общее решение неоднородного уравнения:
y = y_(одн) + y_(неодн) = (C1x + C2)*e^(2x) + 1/16*e^(-2x)
Но с нас требовали только частное решение, поэтому:
Ответ: [b]y_(неодн) = 1/16*e^(-2x)[/b]