Задача 65309 Добрый вечер. Есть прямоугольная...
Условие
Есть прямоугольная трапеция. Угол А 90 градусов. Сторона АВ 20 см, большее из оснований 20 см. Середина стороны АВ - точка О является центром окружности с радиусом 10 см. Окружность касается стороны СД. Надо найти меньшее основание - ВС.
Решение
AB = AD = 20 см
OA = OB = 10 см,
∠DAB = ∠ABC = 90°
Найти BC = x см.
Решение.
Как я понял, трапеция выглядит примерно, как на рисунке.
Проведем дополнительный радиус OM = 10 см (показан красным) в точку касания окружности и стороны CD.
Есть такая теорема. Если из одной точки (например, С) выходит две касательных к окружности, то они имеют равную длину.
BC = CM = x см
AD = DM = 20 см
CD = CM + MD = 20 + x см
Доказать это очень просто: проведем отрезок OC.
Два треугольника OBC и OMC одинаковы, потому что:
1) Сторона OC - общая,
2) Стороны OM = OB = R = 10 см,
3) Углы OBC = OMC = 90°.
Тоже самое про треугольники OAD и OMD.
Отрезки OC и OD показаны зеленым.
Найдем OD по теореме Пифагора:
OD^2 = OA^2 + AD^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500
OD = sqrt(500) = 10sqrt(5) см.
Теперь разберемся с углами.
∠AOD = ∠DOM; ∠BOC = ∠COM
∠AOD + ∠DOM + ∠BOC + ∠COM = 180°
2*∠DOM + 2*∠COM = 180°
∠DOM + ∠COM = 180°/2 = 90°
∠COD = ∠DOM + ∠COM = 90°
То есть треугольник COD - прямоугольный.
Находим отрезок OC из треугольника COD опять по теореме Пифагора:
OC^2 = CD^2 - OD^2 = (20+x)^2 - 500
И, наконец, находим отрезок BC из треугольника OBC третий раз по теореме Пифагора:
BC^2 = OC^2 - OB^2
Подставляем BC = x, OB = 10, OC^2 = (20+x)^2 - 500:
x^2 = ((20+x)^2 - 500) - 10^2 = 400 + 40x + x^2 - 500 - 100
0 = 40x + 400 - 600 = 40x - 200
40x = 200
x = 200/40 = 5 см
Ответ: BC = 5 см