Задача 65302 Экстремумы найти ...
Условие
математика 10-11 класс
103
Решение
★
[m]y = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} = (x^3 - 2x^2)^{1/3}[/m]
[m] y' = \frac{1}{3}*(x^3 - 2x^2)^{-2/3}*(3x^2 - 4x) = \frac{3x^2-4x}{3(x^3 - 2x^2)^{2/3}} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
{ 3x^2 - 4x = 0
{ x^3 - 2x^2 ≠ 0
Раскладываем на множители:
{ x(3x - 4) = 0
{ x^2(x - 2) ≠ 0
Критические точки - это точки, в которых производная равна 0 или не существует.
Заметим, что производная не существует в точках x = 0 и x = 2, но сама функция в этих точках существует.
x1 = 0; y(0) = 0
x2 = 4/3;
y(4/3) = ∛(64/27 - 2*16/9) = ∛((64-96)/27) =
= -∛(32/27) = -2/3*∛4
x3 = 2; y(2) = ∛(8 - 2*4) = 0
Ответ: x1 = 0 - точка максимума.
x2 = 4/3 - точка минимума.
x3 = 2 - точка максимума.