Задача 65290 2,3,4,5,6 задание ...
Условие
Решение
ОДЗ: x > -8; x ≠ 0
x ∈ (-8; 0) U (0; +oo)
Число под логарифмом должно быть больше 0.
Если x ∈ (-8; 0), то:
1/2*log_3 (x^2) = 1/2*2*log_3 (-x) = log_3 (-x)
log_3 (x+8) + log_3 (-x) = 2
log_3 ((x+8)(-x)) = 2
(x+8)(-x) = 3^2 = 9
-x^2 - 8x = 9
x^2 + 8x + 9 = 0
D/4 = 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7
x1 = -4 - sqrt(7) ≈ -6,64 ∈ (-8; 0) - подходит
x2 = -4 + sqrt(7) ≈ -1,36 ∈ (-8; 0) - подходит
Если x ∈ (0; +oo), то:
1/2*log_3 (x^2) = 1/2*2*log_3 (x) = log_3 (x)
log_3 (x+8) + log_3 (x) = 2
log_3 ((x+8)(-x)) = 2
(x+8)*x = 3^2 = 9
x^2 + 8x - 9 = 0
x3 = 1 ∈ (0; +oo) - подходит
x4 = 9 ∈ (0; +oo) - подходит
Ответ: x1 = -4 - sqrt(7); x2 = -4 + sqrt(7); x3 = 1; x4 = 9
3) y = 4x^3 - 12x^2 + 7
Экстремумы - это точки, в которых производная равна 0.
y' = 12x^2 - 24x = 0
12x(x - 2) = 0
x1 = 0; y(0) = 7
x2 = 2; y(2) = 4*2^3 - 12*2^2 + 7 = 32 - 48 + 7 = -9
Ответ: M1(0; 7) - точка максимума;
M2(2; -9) - точка минимума
4) [m]3^x + 1 + \frac{14*3^x - 60}{9^x - 10*3^x + 24} ≤ \frac{2}{3^x - 4}[/m]
Замена y = 3^(x) > 0 при любом x. Тогда 9^(x) = y^2
[m]y + 1 + \frac{14y - 60}{y^2 - 10y + 24} - \frac{2}{y - 4} ≤ 0[/m]
ОДЗ:
{ y > 0
{ y^2 - 10y + 24 ≠ 0
{ y - 4 ≠ 0
Получаем:
{ y > 0
{ (y - 4)(y - 6) ≠ 0
{ y - 4 ≠ 0
y ∈ (0; 4) U (4; 6) U (6; +oo)
Приводим к общему знаменателю y^2 - 10y + 24 = (y-4)(y-6)
[m]\frac{(y+1)(y^2 - 10y + 24) + 14y - 60 - 2(y-6)}{y^2 - 10y + 24} ≤ 0[/m]
[m]\frac{y^3 - 10y^2 + 24y + y^2 - 10y + 24 + 14y - 60 - 2y + 12}{y^2 - 10y + 24} ≤ 0[/m]
[m]\frac{y^3 - 9y^2 + 26y - 24}{(y-4)(y-6)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{y^3 - 2y^2 - 7y^2 + 14y + 12y - 24}{(y-4)(y-6)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(y-2)(y^2 - 7y + 12)}{(y-4)(y-6)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(y-2)(y-3)(y-4)}{(y-4)(y-6)} ≤ 0[/m]
Так как y - 4 ≠ 0, то сокращаем (y-4):
[m]\frac{(y-2)(y-3)}{y-6} ≤ 0[/m]
По методу интервалов:
y ∈ (0; 2] U [3; 6)
3^x ∈ (0; 2] U [3; 6)
Ответ: x ∈ (-oo; log_3 (2)] U [1; log_3 (6))
5) y1 = x^2; y2 = 2x + 8
Находим пределы интегрирования, это точки пересечения:
x^2 = 2x + 8
x^2 - 2x - 8 = 0
x1 = -2; x2 = 4
[m]S = \int_{-2}^4 (2x + 8 - x^2) dx = x^2 + 8x - \frac{x^3}{3} |_{-2}^4 = [/m]
[m]= (4^2 + 8*4 - \frac{4^3}{3}) - ((-2)^2 + 8(-2) - \frac{(-2)^3}{3}) = [/m]
[m]= 16 + 32 - \frac{64}{3} - 4 + 16 - \frac{8}{3} = 60 - \frac{72}{3} = 60 - 24 = 36[/m]
S = 36
6) Шар радиусом R = 10 пересечен плоскостью на расстоянии
L = 8 от центра шара.
Найти радиус сечения r.
Решение.
Смотрите рисунок.
Радиус шара R, радиус сечения r и расстояние L от центра шара до плоскости сечения образуют прямоугольный треугольник, в котором R - гипотенуза.
r^2 = R^2 - L^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36
r = sqrt(36) = 6
Ответ: r = 6