Задача 65281 Найти промежутки выпуклости и...
Условие
Решение
У функции есть точки перегибов, в которых ВТОРАЯ производная равна 0:
y' = (1 + x^2)'*e^(x) + (1 + x^2)*(e^(x))' =
= 2x*e^(x) + (1 + x^2)*e^(x) = e^(x)*(2x + 1 + x^2) = (x^2 + 2x + 1)*e^(x)
Я мог бы свернуть скобку в (x+1)^2, но это незачем.
Все равно нужно брать вторую производную:
y'' = (2x + 2)*e^(x) + (x^2 + 2x + 1)*e^(x) = (x^2 + 4x + 3)*e^(x) = 0
e^(x) > 0 при любом x, поэтому:
x^2 + 4x + 3 = 0
(x + 1)(x + 3) = 0
x1 = -3; y(x1) = y(-3) =(1 + (-3)^2)*e(-3) = 10/e^3
x2 = -1; y(x2) = y(-1) = (1 + (-1)^2)*e^(-1) = 2/e
Это точки перегибов.
Если на промежутке y''(x) > 0 - функция вогнутая (выпуклая вниз).
Если на промежутке y''(x) < 0 - функция выпуклая (выпуклая вверх).
При x < -3, например, при x = -4, будет:
y''(-4) = ((-4)^2 + 4(-4) + 3)*e^(-4) = (16 - 16 + 3)/e^4 = 3/e^4 > 0
При x < -3 функция вогнутая.
При x ∈ (-3; -1), например, при x = -2, будет:
y''(-2) = ((-2)^2 + 4(-2) + 3)*e^(-2) = (4 - 8 + 3)/e^2 = -1/e^2 < 0
При x ∈ (-3; -1) функция выпуклая.
При x > -1, например, при x = 1, будет:
y''(1) = (1^2 + 4*1 + 3)*e^1 = (1 + 4 + 3)*e = 8e > 0
При x > -1 функция вогнутая.