Задача 65240 Записать уравнение траектории движения...

605e2bb01ba1332da0acd80e

27.06.2022 12:16:11

Записать уравнение траектории движения точки М(x,y), если в любой момент времени она находится в 1,25 раза дальше от точки А(5,0), чем от прямой 5x-16=0.

626fab9a354ab65fb2f43abb

27.06.2022 13:41:32

★

Расстояние между двумя точками на плоскости:
[m]|AB| = \sqrt{(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2}[/m]
В нашем случае: M(x; y); A(5; 0)
[m]|AM| = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}[/m]
Расстояние от точки до прямой на плоскости:
Если дана точка M(x1; y1) и прямая Ax + By + С = 0, то:
[m]d = \frac{A*x1 + B*y1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}[/m]
В нашем случае M(x; y); прямая: 5x + 0y - 16 = 0
[m]d = \frac{5x + 0y - 16}{\sqrt{5^2 + 0^2}} = \frac{5x - 16}{5} = x - \frac{16}{5} [/m]
Расстояние между двумя точками должно быть в 1,25 раза больше, чем расстояние от точки до прямой:
|AM| = 1,25*d = 5/4*d
[m]\sqrt{(x - 5)^2 + y^2} = \frac{5}{4}*(x - \frac{16}{5}) = \frac{5x}{4} - \frac{5}{4}*\frac{16}{5} = \frac{5x}{4} - 4[/m]
Возводим всё в квадрат:
[m](x - 5)^2 + y^2 = (\frac{5x}{4} - 4)^2 = \frac{25x^2}{16} - 8*\frac{5x}{4} + 16 = \frac{25x^2}{16} - 10x + 16 [/m]
[m]y^2 = \frac{25x^2}{16} - 10x + 16 - (x - 5)^2[/m]
[m]y^2 = \frac{25x^2}{16} - 10x + 16 - (x^2 - 10x + 25)[/m]
[m]y^2 = \frac{25x^2}{16} + 16 - x^2 - 25 [/m]
[m]y^2 = \frac{9x^2}{16} - 9 [/m]
[m]9 = \frac{9x^2}{16} - y^2 [/m]
Делим всё на 9:
[m]\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1[/m]
Это гипербола с полуосями a = 4; b = 3