Задача 65223 ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТИ ...
Условие
Решение
На промежутках возрастания y'(x) > 0.
На промежутках убывания y'(x) < 0.
А) y = x^5 + 2x^3 + x
y'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 1 = 0
(x^2 + 1)(5x^2 + 1) = 0
Каждая из скобок > 0 при любом x, поэтому это уравнение корней не имеет.
Ответ: Функция возрастает при x ∈ (-oo; +oo).
Б) y(x) = x^5 - 5x
y'(x) = 5x^4 - 5 = 0
5(x^4 - 1) = 0
5(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0
Скобка (x^2 + 1) > 0 при любом x, поэтому корни:
x1 = -1; x2 = 1
Возьмём x < -1:
f'(-2) = 5((-2)^4 - 1) = 5(16 - 1) = 5*15 > 0
Здесь даже не надо считать число, достаточно понять, что оно > 0.
При x ∈ (-oo; -1) функция возрастает.
Возьмём x ∈ (-1; 1), например, x = 0:
y'(0) = 5(0^4 - 1) = 5(-1) = -5 < 0.
При x ∈ (-1; 1) функция убывает.
Возьмём x > 1:
y(2) = 5(2^4 - 1) = 5(16 - 1) = 5*15 > 0
При x ∈ (1; +oo) функция возрастает.
Ответ: При x ∈ (-oo; -1) U (1; +oo) функция возрастает.
При x ∈ (-1; 1) функция убывает.