Задача 65222 ИССЛЕДОВАТЬ НА ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ...
Условие
Решение
Но нужно проверить, какой знак принимает производная слева и справа от этих точек.
Если производная меньше 0, то функция убывает.
Если производная больше 0, то функция возрастает.
а) y = x^3 + 5
y' = 3x^2 = 0
x = 0 - это критическая точка.
Но при x < 0 и при x > 0 производная:
3x^2 > 0
То есть функция возрастает и слева и справа от x = 0.
Поэтому в этой точке экстремума нет.
На самом деле это - точка перегиба, в ней вторая производная равна 0:
y'' = 6x = 6*0 = 0
[b]Ответ: Функция экстремумов не имеет.[/b]
б) y = x^2 - x - 6
y' = 2x - 1 = 0
2x = 1
x = 1/2
y(1/2) = (1/2)^2 - 1/2 - 6 = - 6 1/4 = -25/4
При x < 1/2, например, при x = 0 будет:
y' = 2*0 - 1 = -1 < 0 - функция убывает.
При x > 1/2, например, при x = 1 будет:
y' = 2*1 - 1 = 1 > 0 - функция возрастает.
Слева от критической точки функция убывает, а справа возрастает.
Значит, это - точка минимума.
[b]Ответ: M(1/2; -25/4) - точка минимума.[/b]
в) y = 1/3*x^3 + x^2 - 3x
y' = 1/3*3x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2x - 3 = 0
(x - 1)(x + 3) = 0
x1 = -3
y(-3) = 1/3*(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = -9 + 9 + 9 = 9
x2 = 1
y(1) = 1/3*1^3 + 1^2 - 3*1 = 1/3 + 1 - 3 = -5/3
При x < -3, например, при x = -4 будет:
y' = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0
Функция возрастает.
При -3 < x < 1, например, при x = 0 будет:
y' = - 3 < 0 - функция убывает.
Слева от точки x = -3 функция возрастает, а справа убывает.
Значит, это - точка максимума.
При x > 1, например, при x = 2 будет:
y' = 2^2 + 2*2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0
Функция возрастает.
Слева от точки x = 1 функция убывает, а справа возрастает.
Значит, это - точка минимума.
[b]Ответ: M1(-3; 9) - точка максимума.
M2(1; -5/3) - точка минимума.[/b]