Задача 65214 Нужно Найти частное решение (частный...
Условие
Решение
y`+(1/x)y=(-1/x^2)
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка вида:
y`+p(x)*y=q(x)
p(x)=(1/x)
q(x)=(-1/x^2)
Решение y находим в виде произведения двух произвольных функций: u*v
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+(1/x)*u·v=(-1/x^2)
Группируем:
u`·v+u(v`+(1/x)*v)=(-1/x^2)
Выбираем функцию v так,чтобы выражение в скобках равнялось нулю
(это можно сделать так как функции u и v - произвольные)
1)v`+(1/x)*v=0
тогда
u`·v-u*0=(-1/x^2)⇒
2)u`·v=(-1/x^2)
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
1)
v`+(1/x)*v ⇒ dv/dx=-(1/x)*v ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ ∫ dv/v=-∫ dx/x
lnv=-lnx
lnv=lnx^(-1)
v=1/x
2)
u` *1/x=(-1/x^2)
du=(-1/x) dx
u= ∫(-1/x) dx
u=-lnx + C
y=u*v=(-lnx+C)*(1/x)
О т в е т. [b]y=-(lnx)/(x)+(C/x)[/b]- общее решение
y(1)=0
0=(-ln1/1)+(C/1)
C=0
[b]y=-(lnx)/(x)[/b]- решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1