Задача 65213 Нужно решить уравнение. Сложновато....
Условие
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''+y'-6y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+k-6=0
D=1^2-4*(-6)=25=5^2
k_(1)=(-1-5)/2 и k_(2)=(-1+5)/2
k_(1)=-3 и k_(2)=2 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(2x) - общее решение однородного уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=(Аx+B)*e^(3x)
y`_(частное неодн) =A*e^(3x)+3*(Аx+B)*e^(3x)
y``_(частное неодн)=3A*e^(3x)+3*A*e^(3x)+9*(Ax+B)*e^(3x)
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
y''+y'-6y=(6x+1)*e^(3x)
3A*e^(3x)+3*A*e^(3x)+9*(Ax+B)*e^(3x)+A*e^(3x)+3*(Аx+B)*e^(3x) -6*(Аx+B)*e^(3x) =(6x+1)*e^(3x)
6Ax+7A+6B=6x+1
два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты
при одинаковых степенях переменной
6А=6
A=1
7A+6B=1
6B=-6
B=-1
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(2x)+(x-1)*e^(3x)