Задача 65206 Опять же, Нужно решить уравнение методом...
Условие
Решение
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0
(k-2)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=2
y=C_(1)e^(k)x)+C_(2)*x*e^(kx)
[b]y= C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=3cosx+4sinx
y_(частное неоднородного)=Аcosx+Bsinx
y`_(частное неоднородного)=А(-sinx)+Bcosx
y``_(частное неоднородного)=А(-cosx)+B(-sinx)
А(-cosx)+B(-sinx)-4*A(-sinx)-4Bcosx+4Acosx+4Bsinx=3cosx+4sinx
(3A+4B)sinx+(3A-4B)cosx=3cosx+4sinx
{3A+4B=4
{3A-4B=3
Cкладываем
6A=7
A=7/6
B=1/8
y_(частное неоднородного)=(7/6)cosx+(1/8)sinx
y_(общее неоднородного)=y_(общее однородного)+y_(частное неоднородного)=C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x)+(7/6)cosx+(1/8)sinx
y(0)=1
y`(0)=1
y(0)=1
y(0)=C_(1) e^(0)+C_(2)*0e^(0)+(7/6)cos0+(1/8)sin0
1=C_(1)+(7/6) ⇒ C_(1)=-1/6
y`(0)=1
y`(x)=2C_(1) e^(2x)+C_(2)*e^(2x)+C_(2)*x*2e^(2x)+(7/6)(-sinx)+(1/8)*cosx
y`(0)=2C_(1) e^(0)+C_(2)*e^(0)+C_(2)*0*2e^(0)+(7/6)(-sin0)+(1/8)*cos0
1=2C_(1)+C_(2)+(1/8) ⇒ C_(2)=(7/8)+(1/3);
C_(2)=29/24
y=(-1/6)e^(2x)+(29/24)*xe^(2x)+(7/6)cosx+(1/8)sinx - решение, соответствующее начальным условиям