Задача 65205 Нужно решить уравнение методом...
Условие
Решение
Решаем однородное:
y``-2y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k=0
k*(k-2)=0
k_(1)=0; k_(2)=2 - корни различные действительные
В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид
y=C_(1)*e^(k_(1)*x)+C_(2)*e^(k_(2)*x)
[b]y= C_(1)* e^(0*x)+C_(2)*e^(2*x)[/b] - общее решение однородного.
[b]y= C_(1)+C_(2)*e^(2*x)[/b]
f(x)=2-2x-e^(x)
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)
f_(1)(x)=2-2x
f_(2)(x)=-e^(x)
f_(1)(x)=2-2x ⇒
y_(частное1 неоднородного)=(Ax+B)*x
y_(частное1 неоднородного)=Ax^2+B*x
y`_(ч. 1н)=2Ах+В
y``_(ч.1н)=2A
Подставляем в уравнение
y``-2y`=2-2x
2A-2*(2Ax+B)=2-x
-4Ax+2A-2B=2-x
-4A=-1
2A-2B=2
A=1/4
B=-3/4
[b]y_(частное1 неоднородного)=(1/4)x^2-(3/4)x[/b]
f_(2)(x)=-e^(x)
y_(частное2 неоднородного)=Me^(-x)
y`_(ч. 2н)=(Me^(-x))`=-Me^(-x)
y``_(ч.2н)=Me^(-x)
Подставляем в уравнение
y``-2y`=-e^(-x)
Me^(-x)-2*(-Me^(-x))=-e^(-x)
3Me^(-x)=-e^(-x)
M=-1/3
[b]y_(частное2 неоднородного)=(-1/3)e^(-x)[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн1 неодн)+у_(частн2 неодн)
y= [b]C_(1)+C_(2)*e^(2x) + (1/4)x^2-(3/4)x-(1/3) e^(-x)[/b]
y(0)=1
y`(0)=2
y(0)= C_(1)+C_(2)*e^(0) + (1/4)*0^2-(3/4)*0-(1/3) e^(-0)
1=C_(1)+C_(2)-(1/3)
[blue]C_(1)+C_(2)=4/3[/blue]
y`= [b](C_(1)+C_(2)*e^(2x) + (1/4)x^2-(3/4)x-(1/3) e^(-x))`[/b]
y`=2C_(2)*e^(2x) + 2*(1/4)x-(3/4)+(1/3) e^(-x)
y`(0)=2C_(2)-(3/4)+(1/3)
[blue]2=2C_(2)-(3/4)+(1/3) [/blue] ⇒ C_(2)=29/12
[blue]C_(1)+C_(2)=4/3[/blue] ⇒ C_(1)=-13/12
y= [b](-13/12)+(29/12)*e^(2x) + (1/4)x^2-(3/4)x-(1/3) e^(-x)[/b]- решение, соответствующее начальным условиям
Все решения
Это линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение:
y'' - 2y' = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 2k = 0
k1 = 0; k2 = 2
В этом случае решение однородного уравнения:
[b]y_(одн) =[/b] C1*e^(0x) + C2*e^(2x) = [b]C1 + C2*e^(2x)[/b]
Находим частное решение неоднородного уравнения:
1 компонент правой части:
f1(x) = -2x + 2
Но k1 = 0, поэтому:
y_(неодн1) = x(Ax + B) = Ax^2 + Bx
y_(неодн1)' = 2Ax + B
y_(неодн1)'' = 2A
Подставляем в уравнение:
2A - 2(2Ax + B) = -2x + 2
- 4Ax + (2A - 2B) = -2x + 2
{ -4A = -2
{ 2A - 2B = 2
Получаем:
{ A = 1/2
{ -2B = 2 - 2A = 2 - 2*1/2 = 2 - 1 = 1; B = -1/2
[b]y_(неодн1) =[/b] Ax^2 + Bx = [b]1/2*x^2 - 1/2*x[/b]
2 компонент правой части:
f2(x) = -e^(x)
y_(неодн2) = M*e^(x)
y_(неодн2)' = M*e^(x)
y_(неодн2)'' = M*e^(x)
Подставляем в уравнение:
M*e^(x) - 2M*e^(x) = -e^(x)
-M*e^(x) = -e^(x)
M = 1
[b]y_(неодн2) = [/b]M*e^(x) = [b]e^(x)[/b]
Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y_(одн) + y_(неодн1) + y_(неодн2)
[b]y(x) = C1 + C2*e^(2x) + 1/2*x^2 - 1/2*x + e^(x)[/b]
[b]y'(x) = 2C2*e^(2x) + x - 1/2 + e^(x)[/b]
Теперь решаем задачу Коши.
y(0) = 1; y'(0) = 2
Подставляем:
{ y(0) = C1 + C2*e^(2*0) + 1/2*0^2 - 1/2*0 + e^0
{ y'(0) = 2C2*e^(2*0) + 0 - 1/2 + e^0
Решаем:
{ 1 = C1 + C2*1 + 0 - 0 + 1 = C1 + C2 + 1
{ 2 = 2C2*1 + 0 - 1/2 + 1 = 2C2 + 1/2
Упрощаем:
{ C1 + C2 = 0
{ 2C2 = 2 - 1/2 = 3/2
Получаем:
{ C2 = (3/2)/2 = 3/4
{ C1 = -C2 = -3/4
Частное решение неоднородного уравнения:
[b]y(x) = -3/4 + 3/4*e^(2x) + 1/2*x^2 - 1/2*x + e^(x)[/b]