Задача 65154 Решите дифференциальное...

62addc9efb0f1c32e9b07a7d

20.06.2022 10:32:14

Решите дифференциальное уравнение
у"-4у'=е^-2х

626fab9a354ab65fb2f43abb

20.06.2022 11:31:52

★

y'' - 4y' = e^(-2x)
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
1) Решаем однородное уравнение.
y'' - 4y' = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4k = 0
k1 = 0; k2 = 4
Решение однородного уравнения:
y_(одн) = C1 + C2*e^(4x)

2) Находим частное решение неоднородного уравнения.
Правая часть: e^(-2x), при этом k1 ≠ -2 и k2 ≠ -2. Поэтому:
y_(неодн) = A*e^(-2x)
y_(неодн)' = -2A*e^(-2x)
y_(неодн)'' = 4A*e^(-2x)
Подставляем в наше уравнение:
y'' - 4y' = e^(-2x)
4A*e^(-2x) - 4(-2A*e^(-2x)) = e^(-2x)
(4A + 8A)*e^(-2x) = e^(-2x)
12A = 1
A = 1/12
Частное решение неоднородного уравнения:
y_(неодн) = 1/12*e^(-2x)

Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y_(одн) + y_(неодн) = C1 + C2*e^(4x) + 1/12*e^(-2x)