Задача 65148 Первые 4 задания (5 не надо)...
Условие
Решение
f(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 1 = x^4 + x^3 - 3x^2 - 3x - x - 1 = (x+1)(x^3 - 3x - 1)
g(x) = x^3 + x^2 - x - 1 = (x+1)(x^2 - 1) = (x+1)^2(x-1)
Ответ: НОД(f(x); g(x)) = (x + 1)
2) f(x) = 10x^4 - 13x^3 + 15x^2 - 18x + 24
Рациональные корни имеют вид x = a/b, где:
а - делитель младшего коэффициента 24,
b - делитель старшего коэффициента 10.
Возможные корни: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24
±1/2; ±1/5; ±1/10; ±2/5; ±3/2; ±3/5; ±3/10; ±4/5; ±6/5; ±8/5; ±12/5; ±24/5
Если мы находим корень, то получаем новые старший и младший коэффициенты,
и список возможных корней может сильно сократиться.
Проверяем корни:
f(1) = 10 - 13 + 15 - 18 + 24 = -3 - 3 + 24 = 18
f(-1) = 10 - 13(-1) + 15 - 18(-1) + 24 = 10 + 13 + 15 + 18 + 24 = 80
Отсюда сразу ясно, что отрицательных корней вообще нет, проверяем только положительные.
f(2) = 10*16 - 13*8 + 15*4 - 18*2 + 24 = 160 - 104 + 60 - 36 + 24 = 104
Все ясно, дальше значение функции будет только расти.
f(1/10) = 10*10^(-4) - 13*10^(-3) + 15*10^(-2) - 18/10 + 24 = 0,001 - 0,013 + 0,15 - 1,8 + 24 = 22,338
Даже в дробях от 0 до 1 все значения функции сильно больше 0.
Ответ: Рациональных корней нет.
3) Многочлен имеет двойной корень 7 и один корень 1 + 2i.
Значит, он должен иметь сопряженный корень 1 - 2i.
f(x) = (x - 7)^2(x - 1 - 2i)(x - 1 + 2i) = (x^2 - 14x + 49)(x^2 - x - 2ix - x + 1 + 2i + 2ix - 2i - 4i^2) =
= (x^2 - 14x + 49)(x^2 - 2x + 5) = x^4 - 14x^3 + 49x^2 - 2x^3 + 28x^2 - 98x + 5x^2 - 70x + 245
Приведите подобные и получите многочлен 4 степени.
4) x^3 + px + q = 0
Уравнение имеет 3 корня, x1; x2 = a - x1; x3
(x - x1)(x - a + x1)(x - x3) = 0
(x^2 - x1*x - x3*x + x1*x3)(x - a + x1) = 0
x^3 - x1*x^2 - x3*x^2 + x1*x3*x - ax^2 + a*x1*x + a*x3*x - a*x1*x3 + x1*x^2 - x1^2*x - x1*x3*x + x1^2*x3 = 0
x^3 + (-x1 - x3 - a + x1)*x^2 + (x1*x3 + a*x1 + a*x3 - x1^2 - x1*x3)*x + (x1^2*x3 - a*x1*x3) = 0
x^3 + (- x3 - a)*x^2 + (a*x1 + a*x3 - x1^2)*x + x1*x3(x1 - a) = 0
Что мы можем сказать про коэффициенты уравнения?
{ -x3 - a = 0
{ a*x1 + a*x3 - x1^2 = p
{ x1*x3(x1 - a) = q
Получаем:
{ x3 = -a : если сумма двух корней равна а, то третий корень равен -а.
{ x1*x3(x1 - a) = x1*x3*(-x2) = q : произведение всех трех корней равно -q (по теореме Виета так и есть).
{ a*(x1 + x3) - x1^2= p : это равенство я не знаю, как прокомментировать.