Задача 65141 через точку M(1,5,-1) провести прямую...

62ad598efb0f1c32e9b0788c

18.06.2022 07:51:00

через точку M(1,5,-1) провести прямую перпендикулярную к прямым
2x-y+3z+4=0
-x+2y+2z-2=0



x-y-z+1=0
2x+y+4z=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.06.2022 09:11:43

★

Прямая L_(1) задана как линия пересечения двух плоскостей:
[m]\left\{\begin {matrix}2x–y+3z+4=0\\–x+2y+2z–2=0\end {matrix}\right.[/m]

2x–y+3z+4=0 ⇒ vector{N_(1)}=(2;-1;3)
–x+2y+2z–2=0⇒ vector{N_(2)}=(1;2;2)

vector{a_(1)}=[vector{N_(1)},vector{N_(2)}]-направляющий вектор прямой L_(1)

vector{a_(1)}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&3\\1&2&2\end {vmatrix}=-8\vec{i}-\vec{j}+5\vec{k}[/m]

[b]vector{a_(1)}=(-8;-1;5)[/b]


Прямая L_(2) задана как линия пересечения двух плоскостей:
[m]\left\{\begin {matrix}x–y–z+1=0\\2x+y+4z=0\end {matrix}\right.[/m]

x–y–z+1=0 ⇒ vector{N_(3)}=(1;-1;-1)
2x+y+4z=0⇒ vector{N_(4)}=(2;1;4)

vector{a_(2)}=[vector{N_(3)},vector{N_(4)}]-направляющий вектор прямой L_(2)

vector{a_(2)}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&-1\\2&1&4\end {vmatrix}=-3\vec{i}-6\vec{j}+3\vec{k}[/m]

[b]vector{a_(2)}=(-3;-6;3)[/b]



vector{a}=[vector{a_(1)},vector{a_(2)}] - направляющий вектор искомой прямой

vector{a}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-8&-1&5\\-3&-6&3\end {vmatrix}=27\vec{i}+9\vec{j}+45\vec{k}[/m]

vector{a}=(27;9;45)

Тогда уравнение прямой, проходящей через точку M(1,5,–1) c направляющим вектором vector{a}=(27;9;45) имеет вид:

[m]\frac{x-1}{27}=\frac{y-5}{9}=\frac{z+1}{45}[/m]