Задача 65137 Вычислить пределы функций, не пользуясь...
Условие
дифференциального исчисления.
Решение
В знаменателе получается разность квадратов:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow -1} \frac{(x+1)(3x-1)(\sqrt{5+x} +2)}{5 + x - 4} = \lim \limits_{x \rightarrow -1} \frac{(x+1)(3x-1)(\sqrt{5+x} +2)}{x +1} [/m]
Сокращаем (x+1) и подставляем предел:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow -1} (3x-1)(\sqrt{5+x} +2) = [/m]
[m]= (3(-1) - 1)(\sqrt{5-1} +2) = (-4)(2+2) = -16[/m]
[b]Ответ: -16[/b]
2) [m]\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+\sqrt{x^4-3}}{\sqrt[3]{x^6+8}} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+\sqrt{x^4}}{\sqrt[3]{x^6}} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+x^2}{x^2} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2+1}{1} = 3[/m]
[b]Ответ: 3[/b]
3) [m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{arcsin(x+2)}{x^2+2x} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{arcsin(x+2)}{x(x+2)} [/m]
По следствию из 1 Замечательного Предела:
[m]\lim \limits_{z \rightarrow 0} \frac{arcsin(z)}{z} = 1 [/m]
Получаем:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{arcsin(x+2)}{x(x+2)} = 1*\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \frac{1}{0} = \infty[/m]
[b]Ответ: Бесконечность[/b]
4) [m]\lim \limits_{x \rightarrow \infty} (\frac{3x+2}{3x-3})^{\frac{x^2}{x^2-1}} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} (\frac{3x-3+5}{3x-3})^{\frac{x^2}{x^2-1}} = [/m]
[m]= \lim \limits_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{3x-3})^{\frac{x^2-1+1}{x^2-1}} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{3x-3})^{\frac{3x-3}{5}*\frac{5}{3x-3}(1 + \frac{1}{(x-1)(x+1)})}[/m]
По 2 Замечательному Пределу:
[m]\lim \limits_{z \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{z})^{z} = e[/m]
Замена
[m]\frac{3x-3}{5} = y; \frac{5}{3x-3} = \frac{1}{y}; [/m]
[m]x-1 = 5y/3; x+1 = 5y/3+2 = (5y+6)/3[/m]
[m]x \rightarrow \infty; y \rightarrow \infty[/m]
[m]\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{(5y/3)(5y+6)/3} = \frac{9}{5y(5y+6)}[/m]
Получаем:
[m]\lim \limits_{y \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{y})^{y*\frac{1}{y}(1 + \frac{9}{5y(5y+6)})} = \lim \limits_{y \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{y})^y*\lim \limits_{y \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{y})^{\frac{1}{y}(1 + \frac{9}{5y(5y+6)})} =[/m]
[m]= e*(1 + \frac{1}{\infty})^{\frac{1}{\infty}(1 + \frac{9}{\infty})} = e*(1 + 0)^{0*(1 + 9*0)} = e[/m]
[b]Ответ: e[/b]
5) [m]\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x(ln(x-6) - ln(x))[/m]
Это я не знаю, как решать.