Задача 65126 5.5 Найти наибольшее и наименьшее...

62ab9117c9c58d7ca37b9be5

17.06.2022 10:45:47

5.5 Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=z (x,y) в замкнутой области D, ограниченной заданными линиями: z=x2+2xy–y2–4x. D: y=0, x=3, x–y+1=0

626fab9a354ab65fb2f43abb

17.06.2022 12:41:16

★

z = x^2 + 2xy – y^2 – 4x. D: y = 0, x = 3, x – y + 1 = 0
Сначала найдем точки экстремума функции:
1) Необходимое условие существования экстремума.
Производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = 2x + 2y - 4 = 0
{ dz/dy = 2x - 2y = 0
Из 2 уравнения y = x, подставляем в 1 уравнение:
2x + 2x - 4 = 0
4x - 4 = 0
x = 1; y = x = 1
z(1; 1) = 1 + 2*1*1 - 1 - 4*1 = 1 + 2 - 1 - 4 = -2
M0(1; 1; -2) - Критическая точка.

2) Производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = 2 > 0
B = d^2z/(dxdy) = 2
C = d^2z/dy^2 = -2
D = A*C - B^2 = 2(-2) - 2^2 = -4 - 4 = -8 < 0
Достаточное условие существования экстремума:
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если D > 0 и A > 0 - это минимум.
Если D < 0 - это не экстремум, а так называемая "седловая точка".
Если D = 0 - неизвестно, нужны доп. исследования.
В нашем случае D < 0, значит:
M0(1; 1; -2) - "седловая точка".

3) Экстремумов нет, проверяем границы области D.
Область D - это треугольник, нас интересуют его углы.
Находим их в точках пересечения сторон.
A)
{ y = 0
{ x = 3
z(3; 0) = 3^2 + 2*3*0 – 0^2 – 4*3 = 9 + 0 - 0 - 12 = -3
A(3; 0; -3)
B)
{ y = 0
{ x - y + 1 = 0
x - 0 + 1 = 0
x = -1
z(-1; 0) = (-1)^2 + 2*(-1)*0 – 0^2 – 4*(-1) = 1 + 0 - 0 + 4 = 5
B(-1; 0; 5)
C)
{ x = 3
{ x - y + 1 = 0
3 - y + 1 = 0
y = 4
z(3; 4) = 3^2 + 2*3*4 – 4^2 – 4*3 = 9 + 24 - 16 - 12 = 5
C(3; 4; 5)
Наименьшее значение: A(3; 0; -3)
Наибольшие значения: B(-1; 0; 5); C(3; 4; 5)