Задача 65109 Вычисление интегралов вида: №23 и №24...
Условие
Решение
Интегралы вида K
1) [m] \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}*arctg \frac{x}{a} + C[/m]
2) [m]\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}*arctg \frac{x}{a} + C[/m]
3) [m]\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^3} = \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^5}*arctg \frac{x}{a} + C[/m]
Интегралы вида J
1) [m]\int \frac{dx}{x^2 + px + q}[/m]
Если у знаменателя D = p^2 - 4q ≥ 0, то:
[m]\int \frac{dx}{x^2 + px + q} = \frac{1}{\sqrt{D}}*ln |\frac{2x+p-\sqrt{D}}{2x+p+\sqrt{D}}| + C[/m]
Если у знаменателя D = p^2 - 4q < 0, то -D > 0:
[m]\int \frac{dx}{x^2 + px + q} = \frac{2}{\sqrt{-D}}*arctg \frac{2x+p}{\sqrt{-D}} + C[/m]
2) [m]\int \frac{dx}{(x^2 + px + q)^2}[/m]
Опять считаем D = p^2 - 4q:
[m]\int \frac{dx}{(x^2 + px + q)^2} dx = \frac{2x + p}{(-D)(x^2 + px + q)} + \frac{2}{-D}*\int \frac{dx}{x^2 + px + q} + C[/m]
24.
Интегралы 1 вида:
[m]\int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} dx = A*\int \frac{x dx}{x^2 + px + q} + B*\int \frac{dx}{x^2 + px + q}[/m]
a) [m]\int \frac{x dx}{x^2 + px + q}[/m]
Если у знаменателя D = p^2 - 4q ≥ 0, то:
[m]\int \frac{x dx}{x^2 + px + q} = \frac{1}{2}*ln|x^2 + px + q| - \frac{p}{2\sqrt{D}}*ln |\frac{2x+p-\sqrt{D}}{2x+p+\sqrt{D}}| + C[/m]
Если у знаменателя D = p^2 - 4q < 0, то -D > 0:
[m]\int \frac{x dx}{x^2 + px + q} = \frac{1}{2}*ln|x^2 + px + q| -\frac{p}{\sqrt{-D}}*arctg \frac{2x+p}{\sqrt{-D}} + C[/m]
b) [m]\int \frac{dx}{x^2 + px + q}[/m] - уже рассмотрели в 23.
Интегралы 2 вида:
[m]\int \frac{Ax + B}{\sqrt{x^2 + px + q}} dx = A*\int \frac{x dx}{\sqrt{x^2 + px + q}} + B*\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + px + q}}[/m]
a) [m]\int \frac{x dx}{\sqrt{x^2 + px + q}} = \sqrt{x^2 + px + q} + С[/m]
b) [m]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + px + q}} = ln|x + p/2 + \sqrt{x^2 + px + q }| + C[/m]
Интегралы 3 вида:
[m]\int \frac{Ax + B}{\sqrt{q + px - x^2}} dx = A*\int \frac{x dx}{\sqrt{q + px - x^2}} + B*\int \frac{dx}{\sqrt{q + px - x^2}}[/m]
a) [m]\int \frac{x dx}{\sqrt{q + px - x^2}} = -\sqrt{q + px - x^2} + C[/m]
b) [m]\int \frac{dx}{\sqrt{q + px - x^2}}[/m]
Знаменатель всегда раскладывается на разность квадратов:
q + px - x^2 = b^2 - (x+a)^2
[m]\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 - (x+a)^2}} = arcsin \frac{x+a}{b} + C[/m]