Задача 65107 ...

62a9c0cf225ec1501a9065a2

15.06.2022 14:24:55

основание пирамиды – правильный треугольник со стороной а. Две боковые грани перпендикулярны к основанию, а третья – наклонена к основанию под углом β. Найти объём пирамиды

626fab9a354ab65fb2f43abb

15.06.2022 18:26:22

★

Смотрите рисунок.
AB = BC = AC = a; ∠CMD = β
В правильном, то есть равностороннем треугольнике
CM – высота, она же медиана и биссектриса:
AM = BM = AB/2 = a/2
По теореме Пифагора:
CM^2 = AC^2 – AM^2 = a^2 – (a/2)^2 = 3/4·a^2
CM = √3/2·a
Две боковые грани перпендикулярны к основанию.
Значит, ребро CD перпендикулярно к плоскости ABC.
∠MCD = 90°
В прямоугольном треугольнике MCD:
tg β = CD/CM
Высота пирамиды:
H = CD = CM·tg β = √3/2·a·tg β
Площадь основания:
S(осн) = a^2·√3/4
Объем пирамиды:
V = 1/3·S(осн)·H = 1/3·a^2·√3/4·√3/2·a·tg β = 1/3·a^3·3/8·tg β
[b]V = 1/8·a^3·tg β[/b]