Задача 65106 ...

62a9c0cf225ec1501a9065a2

15.06.2022 14:24:29

основание пирамиды – правильный треугольник со стороной а. Две боковые грани перпендикулярны к основанию, а третья – наклонена к основанию под углом β. Найти объём пирамиды

626fab9a354ab65fb2f43abb

15.06.2022 18:18:48

★

Смотрите рисунок.
AB = BC = AC = a; ∠CMD = β
В правильном, то есть равностороннем треугольнике
CM - высота, она же медиана и биссектриса:
AM = BM = AB/2 = a/2
По теореме Пифагора:
CM^2 = AC^2 - AM^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3/4*a^2
CM = sqrt(3)/2*a
Две боковые грани перпендикулярны к основанию.
Значит, ребро CD перпендикулярно к плоскости ABC.
∠MCD = 90°
В прямоугольном треугольнике MCD:
tg β = CD/CM
Высота пирамиды:
H = CD = CM*tg β = sqrt(3)/2*a*tg β
Площадь основания:
S(осн) = a^2*sqrt(3)/4
Объем пирамиды:
V = 1/3*S(осн)*H = 1/3*a^2*sqrt(3)/4*sqrt(3)/2*a*tg β = 1/3*a^3*3/8*tg β
[b]V = 1/8*a^3*tg β[/b]