Задача 65105 Задание на фото ...
Условие
Решение
y^2 - 4x + 8 > 0
y^2 > 4x - 8
y1 > sqrt(4x - 8)
y2 < -sqrt(4x - 8)
Рисунок прилагается.
2) z = sqrt(x)*y - 2y^2 - x + 14y
Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = y/(2sqrt(x)) - 1 = 0
{ dz/dy = sqrt(x) - 4y + 14 = 0
Из 1 уравнения:
y/(2sqrt(x)) = 1
sqrt(x) = y/2
Подставляем во 2 уравнение:
y/2 - 4y + 14 = 0
14 = 7y/2
y = 4
sqrt(x) = y/2 = 2
x = 2^2 = 4
Нашли: x = 4; y = 4
z(4; 4) = sqrt(4)*4 - 2*4^2 - 4 + 14*4 = 8 - 32 - 4 + 56 = 28
M0(4; 4; 28) - Критическая точка.
Проверим, является ли она экстремумом.
Производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = (y/(2sqrt(x)) - 1)'_x = y/2*(-1/2)*x^(-3/2) = -y/4*x^(-3/2)
A(4; 4) = -4/4*4^(-3/2) = -1*2^(-3) = -1/8 < 0
B = d^2z/(dxdy) = (y/(2sqrt(x)) - 1)'_y = 1/(2sqrt(x))
B(4; 4) = 1/(2sqrt(4)) = 1/(2*2) = 1/4
C = d^2z/dy^2 = (sqrt(x) - 4y + 14)'_y = -4
D = A*C - B^2 = (-1/8)(-4) - (1/4)^2 = 4/8 - 1/16 = 7/16 > 0
Достаточное условие экстремума:
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если D > 0 и A > 0 - это минимум.
Если D < 0 - это не экстремум, а "седловая точка".
Если D = 0 - неизвестно, нужны доп. исследования.
В нашем случае D > 0, A < 0, значит:
M0(4; 4; 28) - это максимум.
3) z = 3x + y - xy; D: y = x; y = 4; x = 0
Сначала ищем экстремум, как во 2) номере.
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = 3 - y = 0
{ dz/dy = 1 - x = 0
x = 1; y = 3
z(1; 3) = 3*1 + 3 - 1*3 = 3
M0(1; 3; 3) - Критическая точка.
Производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = 0
B = d^2z/(dxdy) = -1
C = d^2z/dy^2 = 0
D = A*C - B^2 = 0*0 - (-1)^2 = 0 - 1 = -1 < 0
Достаточное условие экстремума:
В нашем случае D < 0 значит:
M0(1; 3; 3) - Не экстремум, а "седловая" точка.
Ищем значения функции на краях области D.
Область D - это треугольник, нас интересуют углы.
Чтобы их найти, надо решить системы:
A)
{ y = x
{ y = 4
A(4; 4); z(4; 4) = 3*4 + 4 - 4*4 = 12 + 4 - 16 = 0
B)
{ y = x
{ x = 0
B(0; 0); z(0; 0) = 3*0 + 0 - 0*0 = 0
C)
{ y = 4
{ x = 0
C(0; 4); z(0; 4) = 3*0 + 4 - 0*4 = 4
Наименьшие значения: A(4; 4; 0) B(0; 0; 0)
Наибольшее значение: C(0; 4; 4)
4) z = -1/2*arctg(y/x); M0(1; 1; π/8)
Запишем уравнение в неявном виде:
F(x; y; z) = z + 1/2*arctg(y/x) = 0
Уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:
dF/dx (x0; y0)*(x - x0) + dF/dy (x0; y0) (y - y0) + dF/dz (z - z0) = 0
[m]\frac{dF}{dx} = \frac{1}{2}*\frac{1}{1+(y/x)^2}*(-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{2x^2}*\frac{x^2}{x^2+y^2} = -\frac{y}{2(x^2+y^2)}[/m]
[m]\frac{dF}{dx} (1; 1) = 0 -\frac{1}{2(1^2+1^2)} = -\frac{1}{2*2} = -\frac{1}{4}[/m]
[m]\frac{dF}{dy} = 0 + \frac{1}{2}*\frac{1}{1+(y/x)^2}*(\frac{1}{x}) = \frac{1}{2x}*\frac{x^2}{x^2+y^2} = \frac{x}{2(x^2+y^2)}[/m]
[m]\frac{dF}{dy} (1; 1) = \frac{1}{2(1^2+1^2)} = \frac{1}{2*2} = \frac{1}{4}[/m]
[m]\frac{dF}{dz} = 1[/m]
Подставляем найденные значения в уравнение касательной плоскости:
-1/4*(x – 1) + 1/4*(y – 1) + (z – π/8) = 0
-2(x - 1) + 2(y - 1) + 8z - π = 0
Уравнение касательной плоскости в точке M0(1; 1; π/8):
2x - 2y - 8z - 4 - π = 0
Уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид:
[m]\frac{x - x0}{dF/dx} = \frac{y - y0}{dF/dy} = \frac{z - z0}{dF/dz}[/m]
Уравнение нормали к поверхности в точке M0(1; 1; π/8):
[m]\frac{x - 1}{-1/4} = \frac{y - 1}{1/4} = \frac{z - π/8}{1}[/m]
Можно умножить всё на 4 и получить целые числа в знаменателе:
[m]\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - π/8}{4}[/m]
