Задача 65101 Найти локальные безусловные экстремумы...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂x }=(e^{-\frac{x}{2}}(x^2+y^2))`_{x}=(e^{-\frac{x}{2}})_{x}`\cdot (x^2+y^2)+e^{-\frac{x}{2}}\cdot (x^2+y^2)`_{x}=e^{-\frac{x}{2}}\cdot (-\frac{x}{2})`_{x}\cdot (x^2+y^2)+e^{-\frac{x}{2}}\cdot (2x)=[/m]
[m]=e^{-\frac{x}{2}}\cdot (-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2+2x)[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y }=(e^{-\frac{x}{2}}(x^2+y^2))`_{y}=e^{-\frac{x}{2}}\cdot (x^2+y^2)`_{y}=e^{-\frac{x}{2}}\cdot (2y)=2y\cdot e^{-\frac{x}{2}}[/m]
[b]Находим [i]стационарные[/i] точки [/b], т.е точки, в которых выполняется [i]необходимое [/i]условие существования экстремума[/b]
Решаем систему уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}e^{-\frac{x}{2}}\cdot (-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2+2x)=0\\2y\cdot e^{-\frac{x}{2}}=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]e^{-\frac{x}{2}} ≠ 0[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2+2x=0\\y=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}0^2+2x=0\\y=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=0 ... или... x=4\\y=0\end {matrix}\right.[/m]
M_(1)(0;0) и M_(2)(4;0) - точки возможного экстремума.
Чтобы проверить есть ли в этих точках экстремум и какой применяем теорему ([i]достаточное[/i] условие экстремума)
