Задача 65099 y' + 2xy=2x Решить дифференциальное...

62a797f850cfaa3742022ba5

15.06.2022 00:36:07

y' + 2xy=2x Решить дифференциальное уравнение 1 порядка.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.06.2022 09:38:56

★

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

Решаем методом Бернулли.

Находим решение в виде произведения двух [i]произвольных [/i]функций

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

u`*v+u*v`+2x*u*v=2x

u`*v+u*(v`+2x*v)=2x

1) Так как функции u и v - произвольные, полагаем

v`+2x*v=0 ⇒

Решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

dv/dx=-2xv

dv/v=-2xdx

Интегрируем:

∫ dv/v=-2 ∫ xdx

ln|v|=-x^2

[b]v=e^(-x^2)[/b]

2)
u`*v+u*0=2x ⇒

u`*e^(-x^2)=2x

Решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

du/dx=e^(x^2)*2x

du=e^(x^2)*2xdx

Интегрируем:

∫ du= ∫ e^(x^2)*2xdx

u=e^(x^2)+C


y=u*v=(e^(x^2)+C)*e^(-x^2)=1+C*e^(-x^2)

О т в е т. y=1+C*e^(-x^2)