Задача 65096 Решить дифференциальное уравнение 2ого...
Условие
коэффициентами.
Решение
Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y``-7y`+12y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-7k+12=0
D=(-7)^2-4*12=49-48=1
k_(1)=[m]\frac{7-1}{2}[/m] ; k_(2)=[m]\frac{7+1}{2}[/m]
k_(1)=3 ; k_(2)=4 - корни действительные различные
Общее решение однородного дифференциального уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
в этом случае имеет вид:
y_(общ одн)=С_(1)e^(3x)+С_(2)e^(4x)
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет "[b]специальный[/b]" вид
f(x)=x - многочлен первого порядка
Поэтому частное решение находим методом неопределенных коэффициентов:
y_(част неодн)=Ax+B
y`(част неодн)=A
y``(част неодн)=0
Подставляем в уравнение:
0+7А+12Ах+12В=x
12А=1
7А+12В=0
А=1/12
B=-7/144
О т в е т. y_(общ неодн)=y_(общ одн)+y_(част неодн)=С_(1)e^(3x)+С_(2)e^(4x)+(1/12)x-(7/144)