Задача 65087 x^(3)+y^(3)=19 (xy+8)(x+y)=2...

62a884c45211027240641dd9

14.06.2022 15:58:28

x^(3)+y^(3)=19
(xy+8)(x+y)=2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.06.2022 16:37:28

★

[m]\left\{\begin {matrix}x^3+y^3=19\\(xy+8)(x+y)=2\end {matrix}\right.[/m]

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)


[m]\left\{\begin {matrix}(x+y)^3-3xy(x+y)=19\\(xy+8)(x+y)=2\end {matrix}\right.[/m]


Замена переменной:

[m]\left\{\begin {matrix}x+y=u\\xy=v\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}u^3-3vu=19\\(v+8)\cdot u=2\end {matrix}\right.[/m]




Решаем способом подстановки:

[m]\left\{\begin {matrix}u^3-3u\cdot (\frac{2}{u}-8)=19\\ v=\frac{2}{u}-8\end {matrix}\right.[/m]


Решаем первое уравнение.

[m]u^3-6+24u=19[/m]


[m]u^3+24u-25=0[/m]


u=1 корень уравнения, так как


1+24-25=0 - верно

Раскладываем на множители:

[m](u-1)(u^2+u+25)=0[/m]


Квадратное уравнение не имеет корней, т.к D <0



Значит, система имеет единственное решение:

[m]\left\{\begin {matrix}u=1\\ v=\frac{2}{1}-8\end {matrix}\right.[/m]

Обратный переход:

[m]\left\{\begin {matrix}x+y=1\\xy=-6\end {matrix}\right.[/m]

⇒ по теореме Виета
сумма корней 1, произведение -6

Значит х и у являются корнями квадратного уравнения
t^2-t-6=0 ⇒

t=-2 или t=3


[m]\left\{\begin {matrix}x=-2\\y=3\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x=3\\y=-2\end {matrix}\right.[/m]


О т в е т. (-2;3);(3;-2)