Задача 65086 6. Найдите все значения параметра , при...

62a83db25211027240641a84

14.06.2022 10:51:22

6. Найдите все значения параметра , при которых система
3 | x − 2a | + 2 | y − a | = 6,
{xy − x − 2y + 2 = 0
имеет ровно три различных решения.

626fab9a354ab65fb2f43abb

14.06.2022 12:32:43

★

{ 3|x - 2a| + 2|y - a| = 6
{ xy - x - 2y + 2 = 0
2 уравнение разложим на множители:
{ 3|x - 2a| + 2|y - a| = 6
{ x(y-1) - 2(y-1) = (x-2)(y-1) = 0
2 уравнение имеет ровно 2 решения:
x1 = 2; y1 = ?
y2 = 1; x2 = ?
Подставим эти решения в 1 уравнение:

1 решение. x = 2
3|2 - 2a| + 2|y - a| = 6
Делим всё уравнение на 2:
3|1 - a| + |y - a| = 3

Варианты решения:
1) a ≤ 1; a ≤ y
3(1 - a) + y - a = 3
3 - 3a + y - a = 3
y = 4a
По условию y ≥ a; а < 1
4a ≥ a
a ≥ 0
Получаем: a ∈ [0; 1]; x = 2; y = 4a.

2) a ≤ 1; a > y
3(1 - a) + a - y = 3
3 - 3a + a - y = 3
y = -2a
По условию a ≤ 1; a > y
a > -2a
a > 0
Получаем: a ∈ (0; 1]; x = 2; y = -2a

3) a > 1; a ≤ y
3(a - 1) + y - a = 3
y + 2a - 3 = 3
y = 6 - 2a
По условию a > 1; y ≥ a
6 - 2a ≥ a
6 ≥ 3a
a ≤ 2
Получаем: a ∈ (1; 2]; x = 2; y = 6 - 2a

4) a > 1; a > y
3(a - 1) + a - y = 3
3a - 3 + a - y = 3
y = 4a - 6
По условию a > 1; a > y
a > 4a - 6
6 > 3a
a < 2
Получаем: a ∈ (1; 2); x = 2; y = 4a - 6

2 решение. y = 1
3|x - 2a| + 2|1 - a| = 6
Варианты решения:
1) a ≤ 1; x ≥ 2a
3(x - 2a) + 2(1 - a) = 6
3x - 6a + 2 - 2a = 6
3x = 6 - 2 + 6a + 2a = 8a + 4
x = (8a + 4)/3
По условию a ≤ 1; x ≥ 2a
(8a + 4)/3 ≥ 2a
8a + 4 ≥ 6a
a ≥ -2
Получаем: a ∈ [-2; 1]; x = (8a + 4)/3; y = 1

2) a ≤ 1; x < 2a
3(2a - x) + 2(1 - a) = 6
6a - 3x + 2 - 2a = 6
-3x = 6 - 2 - 6a + 2a = 4 - 4a
x = (4 - 4a)/(-3) = (4a - 4)/3
По условию a ≤ 1; x < 2a
(4a - 4)/3 < 2a
4a - 4 < 6a
a > -2
Получаем: a ∈ (-2; 1]; x = (4a - 4)/3; y = 1

3) a > 1; x ≥ 2a
3(x - 2a) + 2(a - 1) = 6
3x - 6a + 2a - 2 = 6
3x = 6 + 2 + 6a - 2a = 4a + 8
x = (4a + 8)/3
По условию a > 1; x ≥ 2a
(4a + 8)/3 ≥ 2a
4a + 8 ≥ 6a
a ≤ 4
Получаем: a ∈ (1; 4]; x = (4a + 8)/3; y = 1

4) a > 1; x < 2a
3(2a - x) + 2(a - 1) = 6
6a - 3x + 2a - 2 = 6
-3x = 6 + 2 - 6a - 2a = 8 - 8a
x = (8 - 8a)/(-3) = (8a - 8)/3
По условию a > 1; x < 2a
(8a - 8)/3 < 2a
8a - 8 < 6a
a < 4
Получаем: a ∈ (1; 4); x = (8a - 8)/3; y = 1

Таким образом, при x = 2 мы получаем:
1) Если а = 0, то y = 4a = 0
2) Если a ∈ (0; 1], то есть 2 решения: y1 = 4a; y2 = -2a
3) Если a ∈ (1; 2), то есть 2 решения: y1 = 6 - 2a; y2 = 4a - 6
4) Если а = 2, то y = 6 - 2a = 6 - 2*2 = 6 - 4 = 2
5) При всех других значениях а решений нет.

А при y = 1 мы получаем:
1) Если а = -2, то x = (8a + 4)/3 = (8(-2) + 4)/3 = (-16 + 4)/3 = -12/3 = -4
2) Если a ∈ (-2; 1], то есть 2 решения: x1 = (8a + 4)/3; x2 = (4a - 4)/3
3) Если a ∈ (1; 4), то есть 2 решения: x1 = (4a + 8)/3; x2 = (8a - 8)/3
4) Если а = 4, то x = (4a + 8)/3 = (4*4 + 8)/3 = (16 + 8)/3 = 24/3 = 8
5) При всех других значениях а решений нет.

Эти промежутки для x = 2 и для y = 1 перекрываются в точках:
1) a = 0; решения:
(x1 = 2, y1 = 0);
(x2 = (8a + 4)/3 = (8*0 + 4)/3 = 4/3; y2 = 1);
(x3 = (4a - 4)/3 = (4*0 - 4)/3 = -4/3; y3 = 1)
2) a = 1; решения: (x1 = 2, y1 = 4a = 4*1 = 4);
(x2 = 2; y2 = -2a = -2*1 = -2);
(x3 = (8a + 4)/3 = (8*1 + 4)/3 = 12/3 = 4; y3 = 1)
(x4 = (4a - 4)/3 = (4*1 - 4)/3 = 0/3 = 0; y4 = 1)
3) a = 2; решения:
(x1 = 2, y1 = 2);
(x2 = (4a + 8)/3 = (4*2 + 8)/3 = 16/3; y2 = 1);
(x3 = (8a - 8)/3 = (8*2 - 8)/3 = 8/3; y3 = 1)
Ответ: 3 разных решения получается при: a1 = 0; a2 = 2