Задача 65077 Найти локальные безусловные экстремумы...
Условие
Решение
Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны равняться 0.
{ dz/dx = 2y/(2sqrt(x)) - 3 = y/sqrt(x) - 3 = 0
{ dz/dy = 2sqrt(x) - 2y + 8 = 0
Решаем систему:
{ y/sqrt(x) = 3 ⇒ y = 3sqrt(x)
{ 2sqrt(x) - 2*3sqrt(x) = -8
Из 2 уравнения:
-4sqrt(x) = -8 ⇒ sqrt(x) = 2 ⇒ x = 4
y = 3sqrt(x) = 3*2 = 6
Получили решение:
x = 4; y = 6
Значение функции:
z(4, 6) = 2*6*2 - 6^2 - 3*4 + 8*6 = 24 - 36 - 12 + 48 = 24
Критическая точка M0(4; 6; 24).
Проверяем, максимум это или минимум.
dz/dx = y*x^(-1/2) - 3
dz/dy = 2sqrt(x) - 2y + 8
Производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = y*(-1/2)*x^(-3/2) = -y/2*x^(-3/2)
A(4; 6) = -6/2*4^(-3/2) = -3*2^(-3) = -3/8 < 0
B = d^2z/(dxdy) = x^(-1/2) = 1/sqrt(x)
B(4; 6) = 1/sqrt(4) = 1/2
C = d^2z/dy^2 = -2
D = A*C - B^2 = (-3/8)(-2) - (1/2)^2 = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2 > 0
Достаточное условие экстремума:
Если D > 0 и A > 0 - это минимум.
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если D < 0 - это не экстремум, а седловая точка.
Если D = 0 - нужны дополнительные исследования.
В нашем случае D > 0, A < 0.
Значит, M0(4; 6; 24) - точка максимума.