Задача 65069 Найти частное решение дифференциального...

629f1a328b69bb7807efe477

13.06.2022 17:57:30

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию:
2xy'+y=2x^3; y(1)=1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.06.2022 18:41:08

★

Делим на [m]2x[/m]

[m]y`+\frac{1}{2x}y=x^2[/m]

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

вида [m]y`+p(x)\cdot y=f(x)[/m]


Решаем методом Бернулли, при котором решение находят в виде произведения двух [i]произвольных [/i]функций

y(x)=u(x)*v(x)

Для простоты записи:

y=u*v

Находим
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`+(1/2x)*u*v=[b]x^2[/b]

u`*v+u(v`+(1/x)*v)=[b]x^2[/b]

Выбираем функцию v так,чтобы
v`+(1/2x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`+(1/2x)*v=0 ⇒ dv/dx=-(1/2x)*v⇒ dv/v=-(dx/2x) ⇒ ∫ dv/v=-(1/2)∫dx/x ⇒ ln|v|=-(1/2)ln|x| ⇒ [b]v=(1/sqrt(x))[/b]

C = 0


u`*v+u(v`+(1/2x)*v)=[b]x^2[/b]

u`*(1/sqrt(x))+u*[red]0[/red]=[b]x^2[/b]


u`=x^(2,5)

u=x^(3,5)/(3,5) + C


y=u*v

y=(x^(3,5)/(3,5) + C)/sqrt(x) - общее решение


y(1)=1


1=(1/(3,5) + C)/sqrt(1)

C=1-(2/7)

[b]C=3/7[/b]

y=(2x^(3,5)/(7) + (3/7))/sqrt(x) - решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1)=1