Задача 65066 ...
Условие
Решение
Решаем однородное уравнение:
y```+6y``+10y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^3+6k^2+10k=0
k*(k^2+6k+10)=0
k_(1)=0
k_(2,3)=-3 ± i - комплексно-сопряженные корни вида α ± β i
α =-3
β =1
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн)=С_(1)e^(0*x)+e^(-3x)*(C_(2)cosx+C_(3)sinx)
Правая часть
f(x)=1-x+x^2e^(-3x)-xe^(-3x)sinx
f_(1)(x)=1-x
f_(2)(x)=x^2e^(-3x)
f_(3)(x)=-xe^(-3x)sinx
Частное решение неоднородного
y_(част неодн)=y_(част 1 неодн)+y_(част 2 неодн)+y_(част 3 неодн)
y_(част 1 неодн)=(Аx+В)*x
y_(част 2 неодн)=(Px^2+Qx+R)*e^(-3x)
y_(част 3 неодн)=e^(-3x)*(Mx+N)*sinx+(Tx+S)*cosx)
y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(част 1 неодн)+y_(част 2 неодн)+y_(част 3 неодн)=
[b]=С_(1)e^(0*x)+e^(-3x)*(C_(2)cosx+C_(3)sinx)+(Аx+В)*x+(Px^2+Qx+R)*e^(-3x)+e^(-3x)*(Mx+N)*sinx+(Tx+S)*cosx)[/b]
5)
Решаем однородное уравнение:
y``-4y`+4=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0
k_(1,2)=2 - корень действительный кратный
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн)=С_(1)e^(2*x)+C_(2)*[red]x[/red]*e^(2x)
Применяем метод вариации
y_(частное неод)=С_(1)([b]x[/b])e^(2*x)+C_(2)([b]x[/b])*[red]x[/red]*e^(2x)
C_(1)(x) и С_(2) (x) находим из системы:
[m]\left\{\begin {matrix}С_{1}(x)e^{2x}+C_{2}x)\cdot x\cdot e^{2x}=0\\(С_{1}(x)`\cdot 2\cdot e^{2x}+(C_{2}(x))`\cdot( x \cdot e^{2x})`=\frac{lnx}{x^2}\cdot e^{2x} \end {matrix}\right.[/m]
