Задача 65065 ...
Условие
Решение
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем сначала однородное уравнение:
y′′ − 2y′ + 2y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 2k + 2 = 0
D = 2^2 - 4*1*2 = 4 - 8 = -4 = (2i)^2
k1 = (2 - 2i)/2 = 1 - i
k2 = (2 + 2i)/2 = 1 + i
Решение однородного уравнения в этом случае:
[b]y0 = e^x*(C1*cos x + C2*sin x)[/b]
Ищем частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = A*cos 2x + B*sin 2x
[m]y*'[/m] = -2A*sin 2x + 2B*cos 2x
[m]y*''[/m] = -4A*cos 2x - 4B*sin 2x
Подставляем в исходное уравнение:
y′′ − 2y′ + 2y = 10*cos 2x
-4A*cos 2x - 4B*sin 2x - 2(-2A*sin 2x + 2B*cos 2x) +
+ 2(A*cos 2x + B*sin 2x) = 10*cos 2x
Раскрываем скобки:
-4A*cos 2x - 4B*sin 2x + 4A*sin 2x - 4B*cos 2x +
+ 2A*cos 2x + 2B*sin 2x = 10*cos 2x
Объединяем sin 2x и отдельно cos 2x:
(-4A - 4B + 2A)*cos 2x + (4A - 4B + 2B)*sin 2x = 10*cos 2x
(-2A - 4B)*cos 2x + (4A - 2B)*sin 2x = 10*cos 2x + 0*sin 2x
Составляем систему по коэффициентам при sin 2x и cos 2x:
{ -2A - 4B = 10
{ 4A - 2B = 0
1 уравнение делим на -2:
{ A + 2B = -5
{ 4A - 2B = 0
Складываем уравнения:
5A = -5
A = -1
2B = -5 - A = -5 + 1 = -4
B = -4/2 = -2
Частное решение неоднородного уравнения:
[b][m]y*[/m] = -cos 2x - 2sin 2x[/b]
Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y0 + [m]y*[/m]
[b]y(x) = e^x*(C1*cos x + C2*sin x) - cos 2x - 2sin 2x[/b]