Задача 65063 Решить 9y’’+6y’+y=0, y(0)=1, y’(0)=-2...
Условие
9y’’+6y’+y=0, y(0)=1, y’(0)=-2
математика ВУЗ
100
Решение
★
Линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
9k^2 + 6k + 1 = 0
(3k + 1)^2 = 0
k1 = k2 = -1/3
Общее решение однородного уравнения в этом случае:
[b]y(x) = (C1*x + C2)*e^(-x/3)[/b]
Отсюда:
y'(x) = C1*e^(-x/3) + (C1*x + C2)(-1/3)*e^(-x/3)
y'(x) = (-C1/3*x + C1 - C2/3)*e^(-x/3)
Решаем задачу Коши при начальных условиях:
y(0) = 1; y'(0) = -2
y(0) = (C1*0 + C2)*e^0 = C2*1 = C2 = 1
C2 = 1
y'(0) = (-C1/3*0 + C1 - C2/3)*e^0 = (C1 - C2/3)*1 = -2
C1 - C2/3 = C1 - 1/3 = -2
C1 = -2 + 1/3 = -5/3
Частное решение однородного уравнения:
[b]y(x) = (-5/3*x + 1)*e^(-x/3)[/b]