Задача 65057 Найти общее решение дифференциального...

629f1a328b69bb7807efe477

12.06.2022 19:55:26

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y"+2y'+10y=-sin2x

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.06.2022 22:09:01

★

y" + 2y' + 10y = –sin 2x
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение:
y" + 2y' + 10y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k + 10 = 0
D = 2^2 - 4*1*10 = 4 - 40 = -36 = (6i)^2
k1 = (-2 - 6i)/2 = -1 - 3i
k2 = (-2 + 6i)/2 = -1 + 3i
Решение однородного уравнения в этом случае:
y0 = e^(-x)*(C1*cos 3x + C2*sin 3x)
Ищем частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = A*sin 2x + B*cos 2x
[m]y*'[/m] = 2A*cos 2x - 2B*sin 2x
[m]y*''[/m] = -4A*sin 2x - 4B*cos 2x
Подставляем в исходное уравнение:
y" + 2y' + 10y = –sin 2x
-4A*sin 2x - 4B*cos 2x + 2(2A*cos 2x - 2B*sin 2x) +
+ 10(A*sin 2x + B*cos 2x) = –sin 2x
-4A*sin 2x - 4B*cos 2x + 4A*cos 2x - 4B*sin 2x +
+ 10A*sin 2x + 10B*cos 2x = –sin 2x
(-4A - 4B + 10A)sin 2x + (-4B + 4A + 10B)cos 2x = –sin 2x
Составляем систему по коэффициентам при sin 2x и cos 2x:
{ 6A - 4B = -1
{ 4A + 6B = 0
Умножаем 1 уравнение на 3, а 2 уравнение на 2:
{ 18A - 12B = -3
{ 8A + 12B = 0
Складываем уравнения:
26A = -3
A = -3/26
B = -4A/6 = (-3)(-4)/(6*26) = 2/26
Частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = -3/26*sin 2x + 2/26*cos 2x
Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y0 + [m]y*[/m]
y(x) = e^(-x)*(C1*cos 3x + C2*sin 3x) - 3/26*sin 2x + 2/26*cos 2x