Задача 65056 Найти частное решение дифференциального...

629f1a328b69bb7807efe477

12.06.2022 19:53:38

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию:
2x'+y=2x^3 y(1)=1

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.06.2022 21:38:02

★

Кажется, у вас опечатка, должно быть так:
2y' + y = 2x^3; y(1) = 1
y' + y/2 = x^3
Линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: y = w*z; y' = w'*z + w*z'
w'*z + w*z' + w*z/2 = x^3
Выносим за скобки w:
w'*z + w(z' + z/2) = x^3
Скобку приравниваем к 0:
z' + z/2 = 0
dz/dx = -z/2
dz/z = -dx/2
ln z = -x/2
z = e^(-x/2)
Подставляем в уравнение:
w'*e^(-x/2) + w*0 = x^3
w' = x^3*e^(x/2)
w = ∫ x^3*e^(x/2) dx
Интеграл берется 3 раза по частям.
1) u = x^3; dv = e^(x/2) dx; du = 3x^2 dx; v = 1/2*e^(x/2)
w = 1/2*x^3*e^(x/2) - 3/2*∫ x^2*e^(x/2) dx
2) u = x^2; dv = e^(x/2) dx; du = 2x dx; v = 1/2*e^(x/2)
w = 1/2*x^3*e^(x/2) - 3/2*(1/2*x^2*e^(x/2) - ∫ x*e^(x/2) dx)
w = 1/2*x^3*e^(x/2) - 3/4*x^2*e^(x/2) + 3/2*∫ x*e^(x/2) dx
3) u = x; dv = e^(x/2) dx; du = dx; v = 1/2*e^(x/2)
w = 1/2*x^3*e^(x/2) - 3/4*x^2*e^(x/2) + 3/2*(1/2*x*e^(x/2) - 1/2*∫ e^(x/2) dx)
w = 1/2*x^3*e^(x/2) - 3/4*x^2*e^(x/2) + 3/4*x*e^(x/2) - 3/4*1/2*e^(x/2) + С
Возвращаемся к нашей функции y(x):
y(x) = w*z = e^(-x/2)*(1/2*x^3*e^(x/2) - 3/4*x^2*e^(x/2) +
+ 3/4*x*e^(x/2) - 3/4*1/2*e^(x/2) + С)
Общее решение уравнения:
y(x) = 1/2*x^3 - 3/4*x^2 + 3/4*x - 3/8 + С*e^(-x/2)
Находим частное решение уравнения при условии: y(1) = 1
y(1) = 1/2*1^3 - 3/4*1^2 + 3/4*1 - 3/8 + С*e^(-1/2)
1/2 - 3/4 + 3/4 - 3/8 + C*e^(-1/2) = 1
C*e^(-1/2) = 1 - 1/8 = 7/8
C = 7/8*e^(-1/2)
Частное решение уравнения:
y(x) = 1/2*x^3 - 3/4*x^2 + 3/4*x - 3/8 + 7/8*e^(-x/2-1/2)