Задача 65048 Решить ДУ dx/dt=x+2y, dy/dt=x-5sint...
Условие
dx/dt=x+2y, dy/dt=x-5sint
Решение
{ dy/dt = x - 5sin t
Выразим x из 2 уравнения.
Запишем dx/dt = x'; dy/dt = y':
{ x' = x + 2y
{ x = y' + 5sin t
В 1 уравнении подставим x из 2 уравнения.
Во 2 уравнении возьмем производную:
{ x' = x + 2y = y' + 5sin t + 2y
{ x' = y'' + 5cos t
Приравняем правые части уравнений:
y' + 5sin t + 2y = y'' + 5cos t
Перенесем y вправо, а t влево:
5sin t - 5cos t = y'' - y' - 2y
Получили неоднородное уравнение 2 порядка:
y'' - y' - 2y = 5sin t - 5cos t
Решаем сначала однородное уравнение:
y'' - y' - 2y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - k - 2 = 0
k1 = -1; k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y0 = C1*e^(-t) + C2*e^(2t)
Находим частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = Asin t + Bcos t
[m]y*'[/m] = Acos t - Bsin t
[m]y*''[/m] = -Asin t - Bcos t
Подставляем в неоднородное уравнение:
-Asin t-Bcos t - (Acos t-Bsin t) - 2(Asin t+Bcos t) = 5sin t-5cos t
(-A + B - 2A)sin t + (-B - A - 2B)cos t = 5sin t - 5cos t
(-3A + B)sin t + (-A - 3B)cos t = 5sin t - 5cos t
Система:
{ -3A + B = 5
{ -A - 3B = -5
Получаем:
{ A = -1
{ B = 2
Частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = -sin t + 2cos t
Общее решение:
y(t) = y0 + [m]y*[/m] = C1*e^(-t) + C2*e^(2t) - sin t + 2cos t
y' = -C1*e^(-t) + 2C2*e^(2t) - cos t - 2sin t
Подставляем в уравнение в исходной системе:
y' = x - 5sin t
x(t) = y' + 5sin t = -C1*e^(-t) + 2C2*e^(2t) - cos t + 3sin t
Окончательное решение системы:
x(t) = -C1*e^(-t) + 2C2*e^(2t) - cos t + 3sin t
y(t) = C1*e^(-t) + C2*e^(2t) - sin t + 2cos t