Задача 65044 ...
Условие
X – годовой доход наугад взятого лица, облагаемого
налогом. Ее плотность вероятности имеет вид:
f(x)= {0, при x≤b
{
{a*x^(-1-n), при x>b
b=4 n=2,5
Требуется найти: а) значение параметра a;
б) функцию распределения F(x) случайной величины X;
в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение;
г) размер годового дохода, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика:
д) построить графики функций F(x), f (x).
Решение
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Функция задана на двух промежутках, поэтому
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=∫ ^{4}_{- ∞} 0dx+∫ ^{+ ∞ }_{4}ax^{-3,5}dx=0+a\cdot (\frac{x^{-2,5}}{-2,5})| ^{+ ∞ }_{4}=a\cdot (0-\frac{4^{-2,5}}{-2,5})=a\cdot \frac{2}{5\cdot 4^{2,5}}=a\cdot \frac{2}{5\cdot 32}[/m]
[m]a\cdot \frac{2}{5\cdot 32}=1[/m]
[m]a=80[/m]
По определению функция распределения :
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x ≤4[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При x >4 [/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{4}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{4}80(x^{-3,5}dx)=80\cdot \frac{x^{-2,5}}{-2,5})| ^{x}_{4}= 80\cdot (\frac{1}{-\frac{5}{2}\cdot x^{2,5}}+\frac{1}{80})=1-\frac{32}{x^{2,5}}[/m]
Проверьте...
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤4\\1-\frac{32}{x^{2,5}}, x>4 \end {matrix}\right.[/m]