Задача 65023 1.Длина основания прямоугольного...
Условие
2. Найдите площадь осевого сечения конуса, в котором радиус основания равен 4 см, а образующая образует с плоскостью основания угол 60
3. Основой пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 16 см и 12 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45. Найдите объем пирамиды
Решение
Найти объем и площадь полной поверхности.
Решение.
Найдем ширину основания b.
По теореме Пифагора для объемной диагонали:
D^2 = a^2 + b^2 + c^2
13^2 = 12^2 + b^2 + 4^2
169 = 144 + b^2 + 16
b^2 = 169 - 144 - 16 = 9
b = 3 см.
Объем
V = abc = 12*3*4 = 144 см^3
Площадь полной поверхности
S = 2(ab + ac + bc) = 2(12*3 + 12*4 + 3*4) = 2*96 = 192 см^2
2) Радиус конуса R = 4 см.
Образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Найти площадь осевого сечения конуса.
Решение.
Осевое сечение конуса это равнобедренный треугольник.
А если он имеет угол 60°, то он равносторонний.
Сторона равна диаметру основания D = 2R = 2*4 = 8 см.
Площадь этого треугольника
S = a^2*sqrt(3)/4 = 8sqrt(3)/4 = 2sqrt(3) см^2
3) Основание треугольной пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами a = 16 см и b = 12 см.
Боковые стороны наклонены к плоскости основания под углом 45°.
Найти объем пирамиды.
Решение.
Гипотенуза основания
c^2 = a^2 + b^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400
c = 20 см.
Площадь основания можно найти двумя способами:
1) S(осн) = ab/2 = 16*12/2 = 96 см^2
2) S(осн) = P*r/2 = (16 + 12 + 20)*r/2 = 48r/2 = 24r
Здесь r - это радиус вписанной окружности.
Если все грани наклонены под одинаковым углом, то высота пирамиды опускается как раз в центр вписанной окружности.
Радиус r, высота пирамиды H и апофема L образуют прямоугольный треугольник.
А так как угол равен 45°, то катеты равны друг другу:
r = H.
Вернёмся к площади основания:
S(осн) = 24r = 96 см^2
r = H = 96/24 = 4 см
Объем пирамиды:
V = 1/3*S(осн)*H = 1/3*96*4 = 128 см^3