Задача 65013 Найти частное решение уравнения,...

62a0b5ab72b82c17d138ec90

08.06.2022 17:44:32

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее
начальному условию
y(x0) = y0
y`-(y/x+2)=x^2+2x y(-1)=3/2

626fab9a354ab65fb2f43abb

09.06.2022 10:52:32

★

y' - y/(x+2) = x^2 + 2x; y(-1) = 3/2
Линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - u*v/(x+2) = x^2 + 2x
Выносим u за скобки:
u'*v + u(v' - v/(x+2)) = x^2 + 2x
Скобку приравниваем к 0:
v' - v/(x+2) = 0
dv/dx = v/(x+2)
dv/v = dx/(x+2)
ln |v| = ln |x+2|
v = x + 2
Подставляем в уравнение:
u'*(x + 2) + u*0 = x^2 + 2x
u'*(x + 2) = x(x + 2)
u' = x
u = x^2/2 + C
Общее решение уравнения:
y(x) = u*v = (x + 2)(x^2/2 + C) = x^3/2 + x^2 + Cx + 2C
Теперь решаем задачу Коши с начальными условиями:
y(-1) = 3/2
(-1)^3/2 + (-1)^2 - C + 2C = 3/2
-1/2 + 1 + C = 3/2
C = 3/2 - 1 + 1/2 = 1
Частное решение с начальными условиями:
y(x) = x^3/2 + x^2 + x + 2