Задача 65003 Вычислить площадь фигуры, ограниченной...

628fe2c6591cc72e90298e6a

07.06.2022 21:44:00

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (задание на фото). очень нужно!! заранее спасибо.

626fab9a354ab65fb2f43abb

08.06.2022 15:06:58

★

4) y = x^2 - 1; y = 0; x = 1; x = 2.
∫_1^2 (x^2 - 1) dx = (x^3/3 - x)|_1^2 = 2^3/3 - 2 - (1^3/3 - 1) = 8/3 - 2 - 1/3 + 1 = 4/3
Ответ: 4/3

5) y = -2/3*x - 2; y = 0; x = 3
Найдем пределы интегрирования. Один мы знаем: x = 3.
Второй находится в точке пересечения линий.
-2/3*x - 2 = 0
-2/3*x = 2
x = -2*3/2 = -3
∫_(-3)^3 (-2x/3 - 2) dx = (-x^2/3 - 2x)|_(-3)^3 =
= -3^2/3 - 2*3 - (-(-3)^2/3 - 2(-3)) =
= -3 - 6 + 3 - 6 = -12
Площадь, конечно, положительное число.
Ответ: 12

6) y = x^2 + 2x - 3; y = -x - 3
Найдем пределы интегрирования.
x^2 + 2x - 3 = -x - 3
x^2 + 3x = 0
x = 0; x = -3
Найдем значения функций на этом промежутке, например, x = -1.
(-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
-(-1) - 3 = 1 - 3 = -2
-2 > -4, значит, прямая лежит выше параболы.
∫_(-3)^0 (-x - 3 - (x^2 + 2x - 3)) dx = ∫_(-3)^0 (-x^2 - 3x) dx =
= (-x^3/3 - 3x^2/2)|_(-3)^0 = 0 - (-(-3)^3/3 - 3(-3)^2/2) =
= -(9 - 27/2) = 4,5
Ответ: 4,5

7) y = -x^2 - 2x + 3; y = x^2 - 2x + 1
Находим пределы интегрирования:
-x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1
0 = 2x^2 - 2
2(x^2 - 1) = 0
x = -1; x = 1
На этом промежутке при x = 0:
y = -0 - 2*0 + 3 = 3
y = 0 - 2*0 + 1 = 1
Отрицательная парабола лежит выше положительной.
∫_(-1)^1 (-x^2 - 2x + 3 - (x^2 - 2x + 1)) dx = ∫_(-1)^1 (-2x^2 + 2) dx =
= -2x^3/3 + 2x |_(-1)^1 = -2/3 + 2 - (-2(-1)/3 + 2(-1)) =
= -2/3 + 2 - 2/3 + 2 = 8/3
Ответ: 8/3